【題目】已知圓A:(x+22+y232,過B2,0)且與圓A相切的動圓圓心為P

1)求點P的軌跡E的方程;

2)設過點A的直線l1交曲線EQS兩點,過點B的直線l2交曲線ERT兩點,且l1l2,垂足為WQ、SR、T為不同的四個點),求四邊形QRST的面積的最小值.

【答案】1;(2

【解析】

1)設動圓半徑為r,由于點B在圓A內,所以圓P與圓A內切,計算可得|PA|+|PB|4|AB|4,可得點P符合橢圓的定義,可得其軌跡的方程;

2)若l1l2的斜率不存在,四邊形QRST的面積為8,若兩條直線的斜率都存在,設直線l1的斜率為k,則直線l1的方程為ykx+2),聯(lián)立直線與橢圓,設點Qx1,y1),點Sx2,y2),可得 ,,可得|QS|的值,同理可得|RT|,由SQRST|QS||RT|,利用基本不等式可得其最小值.

解:(1)設動圓半徑為r,由于點B在圓A內,所以圓P與圓A內切,

|PA|4r,|PB|r,

|PA|+|PB|4|AB|4

∴點P的軌跡是以A,B為焦點的橢圓,其中a2,c2,

b2a2c24,

∴點P的軌跡E的方程為:;

2)若l1l2的斜率不存在,四邊形QRST的面積為8,

若兩條直線的斜率都存在,設直線l1的斜率為k,則直線l1的方程為ykx+2),

聯(lián)立方程,得(1+2k2x2+8k2x+8k280,

設點Qx1,y1),點Sx2,y2),

,,

|QS|4,

同理可得|RT|4

SQRST|QS||RT|,當且僅當2k2+1k2+2,即k±1時等號成立,

綜上所述,當k±1時,四邊形QRST的面積取到最小值

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購買金額(元)

人數(shù)

10

15

20

15

20

10

1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認為購買金額是否少于60元與性別有關.

不少于60

少于60

合計

40

18

合計

2)為吸引游客,該超市推出一種優(yōu)惠方案,購買金額不少于60元可抽獎3次,每次中獎概率為(每次抽獎互不影響,且的值等于人數(shù)分布表中購買金額不少于60元的頻率),中獎1次減5元,中獎2次減10元,中獎3次減15.若游客甲計劃購買80元的土特產(chǎn),請列出實際付款數(shù)(元)的分布列并求其數(shù)學期望.

附:參考公式和數(shù)據(jù):,.

附表:

2.072

2.706

3.841

6.635

7.879

0.150

0.100

0.050

0.010

0.005

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A同學的平均分比B同學高;

A同學的平均分比B同學低;

A同學成績方差小于B同學的方差,

以上說法中正確的是(

A.③④B.①②④C.②④D.①③④

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購買金額(元)

人數(shù)

10

15

20

15

20

10

1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認為購買金額是否少于60元與性別有關.

不少于60

少于60

合計

40

18

合計

2)為吸引游客,該超市推出一種優(yōu)惠方案,購買金額不少于60元可抽獎3次,每次中獎概率為(每次抽獎互不影響,且的值等于人數(shù)分布表中購買金額不少于60元的頻率),中獎1次減5元,中獎2次減10元,中獎3次減15.若游客甲計劃購買80元的土特產(chǎn),請列出實際付款數(shù)(元)的分布列并求其數(shù)學期望.

附:參考公式和數(shù)據(jù):,.

附表:

2.072

2.706

3.841

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A.數(shù)列是遞增數(shù)列B.數(shù)列是遞增數(shù)列

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A.B.C.D.

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