Question

設(shè)f（x）=e^x（ax²+x+1），且曲線y=f（x）在x=1處的切線與x軸平行．
（Ⅰ）求a的值，并求f（x）的極值；
（Ⅱ）k（k∈R）如何取值時(shí)，函數(shù)y=f（x）+kx²e^x存在零點(diǎn)，并求出零點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，利用曲線y=f（x）在x=1處的切線與x軸平行，即可求a的值，確定函數(shù)的單調(diào)性，可求f（x）的極值；
（Ⅱ）由y=f（x）+kx²e^x=e^x[（k-1）x²+x+1]=0，得（k-1）x²+x+1=0，分類討論，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）f'（x）=e^x（ax²+x+1+2ax+1）…（2分）
由已知條件知，f'（1）=0，故a+3+2a=0⇒a=-1…（3分）
于是f'（x）=e^x（-x²-x+2）=-e^x（x+2）（x+1）…（4分）
故當(dāng)x∈（-∞，-2）∪（1，+∞）時(shí)，f'（x）＜0； 當(dāng)x∈（-2，1）時(shí)，f'（x）＞0．
從而f（x）在x=-2處取得極小值-5e^-2，在x=1處取得極大值e…（8分）
（Ⅱ）由y=f（x）+kx²e^x=e^x[（k-1）x²+x+1]=0，得（k-1）x²+x+1=0（*）…（10分）
當(dāng)k=1時(shí)，方程（*）有一解x=-1，函數(shù)y=f（x）+kx²e^x有一零點(diǎn)x=-1；…（11分）
當(dāng)k≠1時(shí)，方程（*）有二解?△=-4k+5＞0?k＜

5

4

，函數(shù)y=f（x）+kx²e^x有兩個(gè)零點(diǎn)x=

-1± -4k+5

2(k-1)

；
方程（*）有一解?△=0?k=

5

4

，函數(shù)y=f（x）+kx²e^x有一個(gè)零點(diǎn)x=-2…（13分）
綜上，當(dāng)k=1時(shí)，函數(shù)有一零點(diǎn)x=-1；當(dāng)k=

5

4

時(shí)，函數(shù)有一零點(diǎn)x=-2；
當(dāng)k＜

5

4

且k≠1時(shí)，函數(shù)y=f（x）+kx²e^x有兩個(gè)零點(diǎn)x=

-1± -4k+5

2(k-1)

…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，正確分類是關(guān)鍵．