Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-|x|+2a-1（a為實(shí)常數(shù)）．
（1）若a=1，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若a＞0，設(shè)f（x）在區(qū)間[1，2]的最小值為g（a），求g（a）的表達(dá)式．

Answer 1

【答案】分析：（1）對解析式進(jìn)行配方整理，根據(jù)二次函數(shù)頂點(diǎn)點(diǎn)式的形式，結(jié)合對稱軸來判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．本題中的函數(shù)由于帶著絕對值號，故在研究函數(shù)性質(zhì)時要先去絕對值號變成分段函數(shù)形式來研究函數(shù)的性質(zhì)．
（2）本小題研究區(qū)間區(qū)間[1，2]的最小值，故可以直接去掉絕對值號，仍然要配方整理，整理后可以看出，本題是二次函數(shù)求最值問題中區(qū)間定軸動的問題，故分類討論對稱軸的位置，以確定區(qū)間[1，2]單調(diào)性，求出最小值為g（a），其形式是一個分段函數(shù)的形式．
解答：解：（1）a=1時，（2分）
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（），（-，0）f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-），（）
（2）由于a＞0，當(dāng)x∈[1，2]時，
10即f（x）在[1，2]為增函數(shù)g（a）=f（1）=3a-2
20即，
30即時f（x）在[1，2]上是減函數(shù)g（a）=f（2）=6a-3
綜上可得（10分）
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是
點(diǎn)評：本題考點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間，考查的是二次函數(shù)的單調(diào)性與二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，二次函數(shù)的單調(diào)性的研究通常借助其圖象來研究，本題中由于函數(shù)的系數(shù)帶著字母，故需要對對稱軸的位置進(jìn)行討論，用到了分類討論的思想，區(qū)間定軸動是二次函數(shù)求最值問題的重要的一類，其規(guī)律是在不同的區(qū)間段上討論函數(shù)的單調(diào)性，做題時要注意總結(jié)這一規(guī)律．