Question

11．已知拋物線y²=2px（p＞0）上的點A到焦點F距離為4，若在y軸上存點B（0，2）使得$\overrightarrow{BA}$$•\overrightarrow{BF}$=0，則該拋物線的方程為（　　）

• A． y²=8x
• B． y²=6x
• C． y²=4x
• D． y²=2x

Answer 1

分析 由題意可得：F（$\frac{p}{2}$，0），x_A+$\frac{p}{2}$=4，解得x_A=4-$\frac{p}{2}$，取A（4-$\frac{p}{2}$，$\sqrt{8p-{p}^{2}}$）．利用$\overrightarrow{BA}$$•\overrightarrow{BF}$=0，即可得出．

解答 解：由題意可得：F（$\frac{p}{2}$，0），x_A+$\frac{p}{2}$=4，解得x_A=4-$\frac{p}{2}$，取y_A=$\sqrt{2p（4-\frac{p}{2}）}$=$\sqrt{8p-{p}^{2}}$．∴A（4-$\frac{p}{2}$，$\sqrt{8p-{p}^{2}}$）．
∵$\overrightarrow{BA}$$•\overrightarrow{BF}$=0，∴$\frac{p}{2}$（4-$\frac{p}{2}$）-2$（\sqrt{8p-{p}^{2}}-2）$=0，∴$（\sqrt{8p-{p}^{2}}-4）^{2}$=0，
解得p=4．經過檢驗滿足條件．
∴該拋物線的方程為y²=8x．
故選：A．

點評 本題考查了拋物線的定義標準方程及其性質、向量數量積運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．