Question

如圖，圓柱的軸截面ABCD是正方形，點(diǎn)E在底面的圓周上，BF⊥AE，F(xiàn)是垂足．
（1）求證：BF⊥AC；
（2）若CE=1，∠CBE=30°，求三棱錐F-BCE的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）

專題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）欲證BF⊥AC，先證BF⊥平面AEC，根據(jù)線面垂直的判定定理可知只需證CE⊥BF，BF⊥AE且CE∩AE=E，即可證得線面垂直；
（2）V_F-BCE=V_C-BEF=

1

3

•S△_BEF•CE=

1

3

•

1

2

•EF•BF•CE，即可求出三棱錐F-BCE的體積．

解答： （1）證明：∵AB⊥平面BEC，CE?平面BEC，∴AB⊥CE
∵BC為圓的直徑，∴BE⊥CE．
∵BE?平面ABE，AB?平面ABE，BE∩AB=B
∴CE⊥平面ABE，
∵BF?平面ABE，
∴CE⊥BF，
又BF⊥AE且CE∩AE=E，
∴BF⊥平面AEC，
∵AC?平面AEC，
∴BF⊥AC…（6分）
（2）解：在Rt△BEC中，∵CE=1，∠CBE=30°∴BE=

3

，BC=2
又∵ABCD為正方形，∴AB=2，∴AE=

7

，
∴BF•AE=AB•BE，
∴BF=

2 3

7

，∴EF=

3

7

∴V_F-BCE=V_C-BEF=

1

3

•S△_BEF•CE=

1

3

•

1

2

•EF•BF•CE
=

1

3

•

1

2

•

3

7

•

2 3

7

•1=

3

7

…（12分）

點(diǎn)評：本小題主要考查空間線面關(guān)系、圓柱性質(zhì)、空間想象能力和邏輯推理能力，考查三棱錐F-BCE的體積的計(jì)算，屬于中檔題．