Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）（0＜φ＜π，ω＞0）為偶函數(shù)，且函數(shù)f（x）圖象上相鄰兩對稱軸間的距離為

π

2

（1）求f（x）的解析式及單減區(qū)間；
（2）△ABC的三內角為A、B、C，若sin²A=sin²B+sin²C-sinBsinC，求f（A）．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦函數(shù)的單調性,由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）函數(shù)f（x）解析式變形后，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，得到f（0）=±2，確定出φ的值，利用函數(shù)f（x）圖象上相鄰兩對稱軸間的距離為

π

2

得到周期為π，求出ω的值，確定出f（x）解析式，即可求出其單調減區(qū)間；
（2）已知等式利用正弦定理化簡，再利用余弦定理列出關系式，求出cosA的值，確定出A的度數(shù)，代入f（x）解析式即可求出f（A）的值．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=

3

sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ-

π

6

）為偶函數(shù)，
∴f（0）=2sin（φ-

π

6

）=±2，即sin（φ-

π

6

）=±1，
∴φ-

π

6

=kπ+

π

2

，即φ=kπ+

2π

3

，
∵φ∈（0，π），
∴φ=

2π

3

，
∵函數(shù)f（x）圖象上相鄰兩對稱軸間的距離為

π

2

，
∴f（x）的周期T=π，即ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+

π

2

）=2cos2x，
則其減區(qū)間為（kπ，kπ+

π

2

）（k∈Z）；
（2）由sin²A=sin²B+sin²C-sinBsinC，利用正弦定理化簡得：a²=b²+c²-bc，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-2bc，即cosA=

1

2

，
∴A=

π

3

，
則f（A）=2cos

2π

3

=-1．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，偶函數(shù)的性質，以及余弦函數(shù)的單調性，熟練掌握定理是解本題的關鍵．