Question

【題目】已知拋物線（）上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)和，焦點(diǎn)為F.線段AB的中點(diǎn)為，且A，B兩點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)F的距離之和為8.

（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)C，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）利用拋物線的定義可得，求出的值，從而得到拋物線的方程；
（2）設(shè)直線AB的方程為：，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式可得，利用AB的中垂線方程可得點(diǎn)C的坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線距離公式求出點(diǎn)C到直線AB的距離d，所以，令，則，利用導(dǎo)數(shù)可得最值.

（1）由題意知，則，

∴，

∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）設(shè)直線（）

由，得，

∴，

∴，

即，

即，

∴，

設(shè)AB的中垂線方程為：，即，

可得點(diǎn)C的坐標(biāo)為，

∵直線，即，

∴點(diǎn)C到直線AB的距離，

∴

令，則，

令，

∴，

令，則，在上；在上，

故在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，

∴當(dāng)，即時(shí)，.