Question

由函數(shù)y=f（x）確定數(shù)列{a_n}，a_n=f（n），函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)y=f^-1（x）能確定數(shù)列{b_n}，b_n=f^-1（n），若對于任意nÎN^*，都有b_n=a_n，則稱數(shù)列{b_n}是數(shù)列{a_n}的“自反數(shù)列”．
（1）若函數(shù)f（x）=確定數(shù)列{a_n}的自反數(shù)列為{b_n}，求a_n；
（2）在（1）條件下，記為正數(shù)數(shù)列{x_n}的調和平均數(shù)，若d_n=，S_n為數(shù)列{d_n}的前n項之和，H_n為數(shù)列{S_n}的調和平均數(shù)，求；
（3）已知正數(shù)數(shù)列{c_n}的前n項之和．求T_n表達式．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)y=f^-1（x），根據(jù)b_n=f^-1（n）可求出p，即可求出a_n；
（2）先求出d_n，然后求出s_n，根據(jù)H_n為數(shù)列{S_n}的調和平均數(shù)，可求出H_n的關系式，從而求出；
（3）先根據(jù)正數(shù)數(shù)列{c_n}的前n項之和求出c₁，當n≥2時，c_n=T_n-T_n-1，所以T_n²-T_n-1²=n，然后利用疊加法求出T_n表達式即可．
解答：解：（1）由題意的：f^-1（x）==f（x）=，所以p=-1，（2分）
所以a_n=（3分）
（2）a_n=，，（4分）
s_n為數(shù)列{d_n}的前n項和，，（5分）
又H_n為數(shù)列{S_n}的調和平均數(shù)，
所以（8分）
（10分）
（3）因為正數(shù)數(shù)列{c_n}的前n項之和
所以解之得：c₁=1，T₁=1（11分）
當n≥2時，c_n=T_n-T_n-1，所以
即T_n²-T_n-1²=n（14分）
所以，T₂^n-1-T₂^n-2=n-1，T₂^n-2-T₂^n-3=n-2，…T₂²-T₁²=2累加得：
T_n²-T₁²=2+3+4+…+n₂（16分）
，（18分）
點評：本題主要考查了反函數(shù)以及數(shù)列與函數(shù)的綜合問題，同時考查了數(shù)列的求和以及累加法，屬于難題．