Question

【題目】設Sn是公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項和，且S1 ， S2 ， S4成等比數(shù)列，a5=9．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）證明： + +…+ ＜ （n∈N*）．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知 ．

設{an}的公差為d，則 ，

解得： ．

∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1，

故數(shù)列{an}的通項公式是an=2n﹣1．

（2）證明：由（1）知

當n=1時，左邊= ，故原不等式顯然成立．

當n≥2時，因為 ，

∴ ，

= ，

= ，

= ，

即 ．

綜上所述， ．

【解析】（1）由等比中項可知及等差數(shù)列通項公式，即可求得{an}的首項和公差，即可寫出數(shù)列{an}的通項公式；（2）根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式 ，當n=1， ，顯然成立，當n≥2，采用放縮法及裂項法即可證明 + +…+ = ＜ ．
【考點精析】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式（及其變式）和數(shù)列的前n項和的相關知識點，需要掌握通項公式：或；數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關系才能正確解答此題．