Question

【題目】設(shè)Sn是公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且S1 ， S2 ， S4成等比數(shù)列，a5=9．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）證明： + +…+ ＜ （n∈N*）．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知 ．

設(shè){an}的公差為d，則 ，

解得： ．

∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1，

故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=2n﹣1．

（2）證明：由（1）知

當(dāng)n=1時(shí)，左邊= ，故原不等式顯然成立．

當(dāng)n≥2時(shí)，因?yàn)? ，

∴ ，

= ，

= ，

= ，

即 ．

綜上所述， ．

【解析】（1）由等比中項(xiàng)可知及等差數(shù)列通項(xiàng)公式，即可求得{an}的首項(xiàng)和公差，即可寫出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 ，當(dāng)n=1， ，顯然成立，當(dāng)n≥2，采用放縮法及裂項(xiàng)法即可證明 + +…+ = ＜ ．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式（及其變式）和數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握通項(xiàng)公式：或；數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系才能正確解答此題．