Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a_n是S_n與2的等差中項(xiàng)，數(shù)列{a_n}中，b₁=1，點(diǎn)P（b_n，b_n+1）在直線(xiàn)x-y+2=0上．
（Ⅰ） 求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式a_n和b_n；
（Ⅱ） 設(shè)c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n

Answer 1

（1）a_n=2ⁿ    b_n=2n-1
（2）T_n=（2n-3）2ⁿ⁺¹+6

試題分析：（Ⅰ）先利用a_n是S_n與2的等差中項(xiàng)把1代入即可求a₁，利用S_n=2a_n-2，再寫(xiě)一式，兩式作差即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；對(duì)于數(shù)列{b_n}，直接利用點(diǎn)P（b_n，b_n+1）在直線(xiàn)x-y+2=0上，得數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列即可求通項(xiàng)；
（Ⅱ）先把所求結(jié)論代入求出數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)，再利用數(shù)列求和的錯(cuò)位相減法即可求出其各項(xiàng)的和．
解：（Ⅰ）∵a_n是S_n與2的等差中項(xiàng)，
∴S_n=2a_n-2，①∴a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2
n≥2時(shí)，S_n-1=2a_n-1-2，②
①-②可得：a_n=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1（n≥2），即數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列
∴a_n=2ⁿ，
∵點(diǎn)P（b_n，b_n+1）在直線(xiàn)x-y+2=0上，
∴b_n-b_n+1+2=0，
∴b_n+1-b_n=2，即數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，又b₁=1，
∴b_n=2n-1；
（Ⅱ）∵c_n=（2n-1）2ⁿ，
∴T_n=a₁b₁+a₂b₂+a_nb_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）2ⁿ，
∴2T_n=1×2²+3×2³+…+（2n-3）2ⁿ+（2n-1）2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=1×2+（2×2²+2×2³+…+2×2ⁿ）-（2n-1）2ⁿ⁺¹，
即：-T_n=1×2+（2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹）-（2n-1）2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（2n-3）2ⁿ⁺¹+6．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查數(shù)列求和的錯(cuò)位相減法，考查計(jì)算能力，屬于中檔題