Question

如圖，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°∠EAC=60°，AB=AC=AE=2．
（Ⅰ）在直線BC上是否存在一點P，使得DP∥平面EAB？請證明你的結論；
（Ⅱ）求平面EBD與平面ABC所成的銳二面角θ的余弦值；
（Ⅲ）求三棱錐C-BDE的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意及圖形取AB的中點F，AC的中點M，得到四邊形EMCD為矩形，利用線面平行的判定定理證得線面平行；
（Ⅱ）由題意利用二面角的定義得到二面角的平面角，然后在三角形中解出即可；
（Ⅲ）三棱錐C-BDE的體積三棱錐B-CDE的體積，由此可得結論．

解答：解：（Ⅰ）線段BC的中點就是滿足條件的點P．證明如下：
取AB的中點F連接DP、PF、EF，則FP∥AC，FP=

1

2

AC，
取AC的中點M，連接EM、EC，
∵AE=AC且∠EAC=60°，∴△EAC是正三角形，∴EM⊥AC．
∴四邊形EMCD為矩形，∴ED=MC=

1

2

AC．
又∵ED∥AC，∴ED∥FP且ED=FP，
∴四邊形EFPD是平行四邊形，∴DP∥EF，
∵EF?平面EAB，DP?平面EAB，
∴DP∥平面EAB；
（Ⅱ）過B作AC的平行線l，過C作l的垂線交l于G，連接DG，
∵ED∥AC，∴ED∥l，l是平面EBD與平面ABC所成二面角的棱．
∵平面EAC⊥平面ABC，DC⊥AC，∴DC⊥平面ABC，
又∵l?平面ABC，∴l(xiāng)⊥平面DGC，∴l(xiāng)⊥DG，
∴∠DGC是所求二面角的平面角．
設AB=AC=AE=2a，則CD=

3

a，GC=2a，
∴GD=

GC2+CD2

=

7

a，
∴cosθ=cos∠DGC=

GC

GD

=

2 7

7

；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，ED=1，DC=

3

，∴S_△CDE=

1

2

×1×

3

=

3

2

∵直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=90°
∴AB⊥平面ACDE
∴三棱錐C-BDE的體積等于三棱錐B-CDE的體積等于

1

3

×

3

2

×2=

3

3

．

點評：本題主要考查直線與平面之間的平行、垂直等位置關系，二面角的概念、求法等知識，考查三棱錐體積的計算，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題．