如圖,已知直角梯形ABCD的上底BC=
2
,BC∥AD,BC=
1
2
AD
CD⊥AD,PDC⊥,平面平面ABCD,△PCD是邊長為2的等邊三角形.
(1)證明:AB⊥PB;
(2)求二面角P-AB-D的大小.
(3)求三棱錐A-PBD的體積.
分析:(1)由已知中中在直角梯形ABCD中,因為AD=2
2
,BC=
2
,CD=2,我們易求出AB值,雙由為BC⊥CD,平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=CD,則BC⊥平面PDC,再由勾定理得到,我們可得AB⊥PB;
(2)設(shè)線段DC的中點為E,連接PE,EB,結(jié)合△PCD是等邊三角形,平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=CD,我們易得AB⊥PE,AB⊥PB,則∠PBE就是二面角P-AB-D的平面角,解△PBE即可得到答案.
(3)VA-PBD=VP-ABD,求出棱錐的底面面積及高,代入棱錐體積公式即可得到答案.
解答:證明:(1)在直角梯形ABCD中,因為AD=2
2
,BC=
2
,CD=2
所以AB=
(AD-BC)2+CD2
=
6

因為BC⊥CD,平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=CD,所以BC⊥平面PDC,因此在Rt△BCP中,PB=
BC2+PC2
=
6

因為BC∥AD所以AD⊥平面PDC,所以在Rt△PAD中,
PA=
AD2+PD2
=
(2
2
)2+22
=
12

所以在△PAB中,PA2=AB2+PB2,所以AB⊥PB.
解:(2)設(shè)線段DC的中點為E,連接PE,EB
因為△PCD是等邊三角形,所以PE⊥C,
因為平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=CD,所以PE⊥平面ABCD,因此AB⊥PE,由(1)知AB⊥PB,所以AB⊥平面PEB,所以AB⊥BE,因此∠PBE就是二面角P-AB-D的平面角,在Rt△PBE中,
sin∠PBE=
PE
PB
=
3
6
=
2
2
,所以∠PBE=
π
4

解:(3)∵VA-PBD=VP-ABD=
1
3
S△ABD•PE
=
1
3
×
1
2
•AD•DC•
3
=
1
3
×
1
2
×2
2
×2×
3
=
2
6
3
點評:本題考查的知識點是直線與平面垂直的性質(zhì),棱錐的體積,二面角平面角的求法,在求二面角時,根據(jù)三垂線定理找到二面角的平面角是解答的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥DC,∠ABC=45°,DC=1,AB=2,PA⊥平面ABCD,PA=1.
(1)求證:AB∥平面PCD
(2)求證:BC⊥平面PAC
(3)求二面角A-PC-D的平面角a的正弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖:已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形,AD∥BC,∠BCD=90,PA=PB,PC=PD.
(Ⅰ)證明CD與平面PAD不垂直;
(Ⅱ)證明平面PAB⊥平面ABCD;
(Ⅲ)如果CD=AD+BC,二面角P-BC-A等于60°,求二面角P-CD-A的大。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:高三數(shù)學(xué)教學(xué)與測試 題型:044

如圖,已知直角梯形ABCD中,AB⊥BC,AB=AD=a,BC=3a,E是BC邊上一動點,以DE為棱把△CDE折起,使其成直二面角C-DE-A,求四棱錐C-ABED體積的最大值.

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知直角梯形ABCD的上底BC=,BC∥AD,BC=AD,CD⊥AD,平面PDC⊥平面ABCD,△PCD是邊長為2的等邊三角形.

(1)證明:AB⊥PB;

(2)求三棱錐A-PBD的體積.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案