Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，滿足S_n+a_n+n=0，數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_n+1．
（1）求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_nb_n}前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用遞推式可得an+1=

1

2

(an-1+1)，即可證明；
（2）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答： （1）證明：∵S_n+a_n+n=0，∴當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1+a_n-1+（n-1）=0，a_n+a_n-a_n-1+1=0，
∴an+1=

1

2

(an-1+1)，
∵b_n=a_n+1，
∴bn=

1

2

bn-1．
當(dāng)n=1時(shí)，a₁+a₁+1=0，解得a1=-

1

2

．
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為

1

2

，公比為

1

2

；
（2）解：由（1）可得：b_n=(

1

2

)n，
∴a_n=b_n-1=(

1

2

)n-1．
∴a_nb_n=(

1

4

)n-(

1

2

)n．
∴數(shù)列{a_nb_n}前n項(xiàng)和T_n=

1 4 [1-( 1 4 )n]

1- 1 4

-

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=-

2

3

+

1

3×4n

+

1

2n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了遞推式、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．