【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求的最小值;
(2)設(shè)數(shù)列,其前項(xiàng)和為,證明:.
【答案】(1);(2)證明見解析.
【解析】
(1),分,,三種情況推理即可;
(2)由(1)可得,即,利用累加法即可得到證明.
(1)由,得.
當(dāng)時(shí),方程的,因此在區(qū)間
上恒為負(fù)數(shù).所以時(shí),,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.
又,所以函數(shù)在區(qū)間上恒成立;
當(dāng)時(shí),方程有兩個(gè)不等實(shí)根,且滿足,
所以函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上大于零,函數(shù)在區(qū)間
上單增,又,所以函數(shù)在區(qū)間上恒大于零,不滿足題意;
當(dāng)時(shí),在區(qū)間上,函數(shù)在區(qū)間
上恒為正數(shù),所以在區(qū)間上恒為正數(shù),不滿足題意;
綜上可知:若時(shí),不等式恒成立,的最小值為.
(2)由第(1)知:若時(shí),.
若,則,
即成立.
將換成,得成立,即
,
以此類推,得,
,
上述各式相加,得,
又,所以.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓,、分別是橢圓長軸的左、右端點(diǎn),為橢圓上的動(dòng)點(diǎn).
(1)求的最大值,并證明你的結(jié)論;
(2)設(shè)直線的斜率為,且,求直線的斜率的取值范圍.
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【題目】已知拋物線的準(zhǔn)線過橢圓C:(a>b>0)的左焦點(diǎn)F,且點(diǎn)F到直線l:(c為橢圓焦距的一半)的距離為4.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點(diǎn)F做直線與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),P是AB的中點(diǎn),線段AB的中垂線交直線l于點(diǎn)Q.若,求直線AB的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在正方形中,,分別為棱和棱的中點(diǎn),則下列說法正確的是( )
A.∥平面B.平面截正方體所得截面為等腰梯形
C.平面D.異面直線與所成的角為60°
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【題目】根據(jù)國家統(tǒng)計(jì)局?jǐn)?shù)據(jù),1978年至2018年我國GDP總量從0.37萬億元躍升至90萬億元,實(shí)際增長了242倍多,綜合國力大幅提升.
將年份1978,1988,1998,2008,2018分別用1,2,3,4,5代替,并表示為;表示全國GDP總量,表中,.
3 | 26.474 | 1.903 | 10 | 209.76 | 14.05 |
(1)根據(jù)數(shù)據(jù)及統(tǒng)計(jì)圖表,判斷與(其中為自然對數(shù)的底數(shù))哪一個(gè)更適宜作為全國GDP總量關(guān)于的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由),并求出關(guān)于的回歸方程.
(2)使用參考數(shù)據(jù),估計(jì)2020年的全國GDP總量.
線性回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為:
,.
參考數(shù)據(jù):
4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
的近似值 | 55 | 148 | 403 | 1097 | 2981 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在2019年女排世界杯中,中國女排與巴西女排對壘中采用“五局三勝”制,即哪個(gè)隊(duì)先勝三場即獲得勝利.根據(jù)以往比賽數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì),中國女排每局獲勝概率為,巴西女排每局獲勝概率為.
(1)中國女排戰(zhàn)勝巴西女排的概率;
(2)比賽中中國女排第一局獲勝,在該條件下求比賽總局?jǐn)?shù)的分布列及.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知為圓上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)在圓的半徑上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)在上,且滿足,其中.
(1)求點(diǎn)的軌跡方程;
(2)設(shè)不過原點(diǎn)的直線與點(diǎn)的軌跡交于兩點(diǎn),且點(diǎn)關(guān)于恒過定點(diǎn)的直線對稱.求面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正四棱柱的底面邊長,側(cè)棱長,它的外接球的球心為,點(diǎn) 是的中點(diǎn),點(diǎn)是球上的任意一點(diǎn),有以下命題:
① 的長的最大值為9;
②三棱錐的體積的最大值是;
③存在過點(diǎn)的平面,截球的截面面積為;
④三棱錐的體積的最大值為20;
⑤過點(diǎn)的平面截球所得的截面面積最大時(shí),垂直于該截面.
其中是真命題的序號(hào)是___________
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出下列四個(gè)命題:
①某班級(jí)一共有52名學(xué)生,現(xiàn)將該班學(xué)生隨機(jī)編號(hào),用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為4的樣本,已知7號(hào)、33號(hào)、46號(hào)同學(xué)在樣本中,那么樣本中另一位同學(xué)的編號(hào)為23;
②一組數(shù)據(jù)1,2,3,3,4,5的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)都相同;
③一組數(shù)據(jù),0,1,2,3,若該組數(shù)據(jù)的平均值為1,則樣本的標(biāo)準(zhǔn)差為2;
④根據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)所得的回歸直線方程為中,,,,則.
其中真命題為( )
A.①②④B.②④C.②③④D.③④
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