【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的最小值；

（2）設(shè)數(shù)列，其前項(xiàng)和為，證明：.

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1），分，，三種情況推理即可；

（2）由（1）可得，即，利用累加法即可得到證明.

（1）由，得.

當(dāng)時(shí)，方程的，因此在區(qū)間

上恒為負(fù)數(shù).所以時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.

又，所以函數(shù)在區(qū)間上恒成立；

當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，且滿(mǎn)足，

所以函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上大于零，函數(shù)在區(qū)間

上單增，又，所以函數(shù)在區(qū)間上恒大于零，不滿(mǎn)足題意；

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，函數(shù)在區(qū)間

上恒為正數(shù)，所以在區(qū)間上恒為正數(shù)，不滿(mǎn)足題意；

綜上可知：若時(shí)，不等式恒成立，的最小值為.

（2）由第（1）知：若時(shí)，.

若，則，

即成立.

將換成，得成立，即

，

以此類(lèi)推，得，

，

上述各式相加，得，

又，所以.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓，、分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn).

（1）求的最大值，并證明你的結(jié)論；

（2）設(shè)直線的斜率為，且，求直線的斜率的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知拋物線的準(zhǔn)線過(guò)橢圓C：（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)F，且點(diǎn)F到直線l：（c為橢圓焦距的一半）的距離為4.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)點(diǎn)F做直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，P是AB的中點(diǎn)，線段AB的中垂線交直線l于點(diǎn)Q.若，求直線AB的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在正方形中，，分別為棱和棱的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是( )

A.∥平面B.平面截正方體所得截面為等腰梯形

C.平面D.異面直線與所成的角為60°

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】根據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局?jǐn)?shù)據(jù)，1978年至2018年我國(guó)GDP總量從0.37萬(wàn)億元躍升至90萬(wàn)億元，實(shí)際增長(zhǎng)了242倍多，綜合國(guó)力大幅提升.

將年份1978，1988，1998，2008，2018分別用1，2，3，4，5代替，并表示為；表示全國(guó)GDP總量，表中，.

3

26.474

1.903

10

209.76

14.05

（1）根據(jù)數(shù)據(jù)及統(tǒng)計(jì)圖表，判斷與（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）哪一個(gè)更適宜作為全國(guó)GDP總量關(guān)于的回歸方程類(lèi)型？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由），并求出關(guān)于的回歸方程.

（2）使用參考數(shù)據(jù)，估計(jì)2020年的全國(guó)GDP總量.

線性回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：

，.

參考數(shù)據(jù)：

4

5

6

7

8

的近似值

55

148

403

1097

2981

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在2019年女排世界杯中，中國(guó)女排與巴西女排對(duì)壘中采用“五局三勝”制，即哪個(gè)隊(duì)先勝三場(chǎng)即獲得勝利.根據(jù)以往比賽數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，中國(guó)女排每局獲勝概率為，巴西女排每局獲勝概率為.

（1）中國(guó)女排戰(zhàn)勝巴西女排的概率；

（2）比賽中中國(guó)女排第一局獲勝，在該條件下求比賽總局?jǐn)?shù)的分布列及.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知為圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在圓的半徑上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在上，且滿(mǎn)足，其中.

（1）求點(diǎn)的軌跡方程；

（2）設(shè)不過(guò)原點(diǎn)的直線與點(diǎn)的軌跡交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)關(guān)于恒過(guò)定點(diǎn)的直線對(duì)稱(chēng).求面積的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知正四棱柱的底面邊長(zhǎng),側(cè)棱長(zhǎng),它的外接球的球心為，點(diǎn) 是的中點(diǎn)，點(diǎn)是球上的任意一點(diǎn)，有以下命題：

① 的長(zhǎng)的最大值為9;

②三棱錐的體積的最大值是;

③存在過(guò)點(diǎn)的平面，截球的截面面積為;

④三棱錐的體積的最大值為20；

⑤過(guò)點(diǎn)的平面截球所得的截面面積最大時(shí)，垂直于該截面.

其中是真命題的序號(hào)是___________

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】給出下列四個(gè)命題：

①某班級(jí)一共有52名學(xué)生，現(xiàn)將該班學(xué)生隨機(jī)編號(hào)，用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為4的樣本，已知7號(hào)、33號(hào)、46號(hào)同學(xué)在樣本中，那么樣本中另一位同學(xué)的編號(hào)為23；

②一組數(shù)據(jù)1，2，3，3，4，5的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)都相同；

③一組數(shù)據(jù)，0，1，2，3，若該組數(shù)據(jù)的平均值為1，則樣本的標(biāo)準(zhǔn)差為2；

④根據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)所得的回歸直線方程為中，，，，則.

其中真命題為（ ）

A.①②④B.②④C.②③④D.③④

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