Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax2﹣lnx（a∈R）
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若x∈（0，1]，|f（x）|≥1恒成立，求a的取值范圍；
（3）若a= ，證明：ex﹣1f（x）≥x．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=1時(shí)，函數(shù)f（x）=x2﹣lnx， ．

函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），

則由f'（x）＞0得 ，由f'（x）＜0得 ，

所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為 ，單調(diào)遞減區(qū)間為

（2）解：由已知得f′（x）=2ax﹣ ．

若f′（x）≤0在（0，1]上恒成立，則2a≤ 恒成立，所以2a≤（ ）min=1，即a≤ ．

①a≤ 時(shí)，f（x）在（0，1]單調(diào)遞減，f（x）min=f（1）=a，與|f（x）|≥1恒成立矛盾．

②當(dāng)a＞ 時(shí)，令f′（x）=2ax﹣ =0，得x= ∈（0，1]．

所以當(dāng)x∈（0， ）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈（ ，1]時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．

所以f（x）min=f（ ）=a（ ）2﹣ln = + ln2a．

由|f（x）|≥1得， + ln2a≥1，所以a≥ ．

綜上，所求a的取值范圍是[ ，+∞）

（3）解：證明：a= 時(shí)，由（Ⅱ）得f（x）min= + ln2a=1．

令h（x）= ，則h′（x）= ．

所以當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′（x）＞0，h（x）單增；當(dāng)x≥1時(shí)，h′（x）＜0，h（x）單減．

所以h（x）≤h（1）=1．…（13分）

所以f（x）≥h（x），即ex﹣1f（x）≥x

【解析】（1）求出導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間；（2）求出導(dǎo)數(shù)，對a討論，①a≤ 時(shí)，②當(dāng)a＞ 時(shí)，求出單調(diào)區(qū)間，可得最小值，由恒成立思想即可得到a的范圍；（3）a= 時(shí)，由（Ⅱ）得f（x）min= + ln2a=1，令h（x）= ，求出導(dǎo)數(shù)，單調(diào)區(qū)間，運(yùn)用單調(diào)性即可得證．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．