【題目】已知拋物線與軸交于點(diǎn),直線與拋物線交于點(diǎn),兩點(diǎn).直線,分別交橢圓于點(diǎn)、(,與不重合)
(1)求證:;
(2)若,求直線的斜率的值;
(3)若為坐標(biāo)原點(diǎn),直線交橢圓于,,若,且,則是否為定值?若是,求出定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2);(3)是定值,為定值10.
【解析】
(1) 直線和拋物線方程聯(lián)立,根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系、斜率公式可以計(jì)算出,也就證明出;
(2)設(shè)出直線的斜率,直線的斜率,求出它們的直線方程,通過(guò)解一元二次方程組求出,的坐標(biāo),最后利用面積公式求出的表達(dá)式,同理求出的表達(dá)式,最后求出直線的斜率的值;
(3) 設(shè),,根據(jù)余弦定理和,可以得到又,.通過(guò)對(duì)兩個(gè)等式進(jìn)行移項(xiàng)相乘和兩個(gè)等式相加,最后可以求出的值為定值.
解:(1)由題意知,直線的方程為.
由得,
設(shè),,則,是上述方程的兩個(gè)實(shí)根,
于是,.
又點(diǎn)的坐標(biāo)為,
所以
故,即.
(2)設(shè)直線的斜率為,則直線的方程為,
由,解得,或,則點(diǎn)的坐標(biāo)為.
又直線的斜率為,同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為.
于是,.
由得,
解得或,則點(diǎn)的坐標(biāo)為.
又直線的斜率為,同理可得點(diǎn)的坐標(biāo).
于是,.
因此,.
由題意知,解得或.
又由點(diǎn),的坐標(biāo)可知,,所以.
(3)設(shè),,四邊形為平行四邊形,
由余弦定理有,
,
兩式相加得.
又.
又,,
上面兩式移項(xiàng)相乘得,
上面兩式相加得.
所以.
因此為定值10.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在正方體中,點(diǎn)是底面的中心,是線段的上一點(diǎn)。
(1)若為的中點(diǎn),求直線與平面所成角的正弦值;
(2)能否存在點(diǎn)使得平面平面,若能,請(qǐng)指出點(diǎn)的位置關(guān)系,并加以證明;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由。
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【題目】一個(gè)袋子中有個(gè)紅球,個(gè)白球,若從中任取個(gè)球,則這個(gè)球中有白球的概率是( )
A. B. C. D.
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【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),判斷函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),證明:.(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓,定義橢圓上的點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”為.
(1)求橢圓上的點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”的軌跡方程;
(2)如果橢圓上的點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”為,對(duì)于橢圓上的任意點(diǎn)及它的“伴隨點(diǎn)”,求的取值范圍;
(3)當(dāng), 時(shí),直線交橢圓于, 兩點(diǎn),若點(diǎn), 的“伴隨點(diǎn)”分別是, ,且以為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),求的面積.
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【題目】為培養(yǎng)學(xué)生的閱讀習(xí)慣,某校開展了為期一年的“弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化,閱讀經(jīng)典名著”活動(dòng). 活動(dòng)后,為了解閱讀情況,學(xué)校統(tǒng)計(jì)了甲、乙兩組各10名學(xué)生的閱讀量(單位:本),統(tǒng)計(jì)結(jié)果用莖葉圖記錄如下,乙組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊,無(wú)法確認(rèn),在圖中以a表示.
(Ⅰ)若甲組閱讀量的平均值大于乙組閱讀量的平均值, 求圖中a的所有可能取值;
(Ⅱ)將甲、乙兩組中閱讀量超過(guò)15本的學(xué)生稱為“閱讀達(dá)人”. 設(shè),現(xiàn)從所有“閱讀達(dá)人”里任取3人,求其中乙組的人數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
(Ⅲ)記甲組閱讀量的方差為. 在甲組中增加一名學(xué)生A得到新的甲組,若A的閱讀量為10,則記新甲組閱讀量的方差為;若A的閱讀量為20,則記新甲組閱讀量的方差為,試比較,,的大小.(結(jié)論不要求證明)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在多面體中,底面為矩形,側(cè)面為梯形,,,.
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)求證:平面;
(Ⅲ)判斷線段上是否存在點(diǎn),使得平面平面?并說(shuō)明理由.
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【題目】已知函數(shù).
(1)證明:函數(shù)在其定義域上是單調(diào)遞增函數(shù).
(2)設(shè),當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求的取值范圍.
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