Question

【題目】如圖，已知點，點均在圓上，且，過點作的平行線分別交，于兩點.

（1）求點的軌跡方程；

（2）過點的動直線與點的軌跡交于兩點．問是否存在常數，使得點為定值？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在常數符合題意，理由詳見解析.

【解析】

（1）由平面幾何的相關性質可得，則，即點的軌跡是以為焦點的橢圓，再求出橢圓的標準方程即可；

（2）當直線的斜率存在時，設，，，聯立直線方程與橢圓方程，消元列出韋達定理，則代入計算可得的值，再計算斜率不存在時的值，即可得解；

解：（1）由，得，

由，得，所以.

由，知，

所以，即，

所以，

所以點的軌跡是以為焦點的橢圓.

這里，，所以，，

則點的軌跡方程為：.

（2）當直線與軸不垂直時，設，，，

聯立得，

其判別式，

所以，，

，

所以當時，，

此時為定值.

當直線的斜率不存在時，.

綜上，存在常數，使得為定值img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2020/11/26/22/0c62e4d8/SYS202011262207475451781454_DA/SYS202011262207475451781454_DA.037.png" width="22" height="19" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />.