【題目】已知斜率為1的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，橢圓的上頂點(diǎn)為.

（1）求橢圓的離心率；

（2）設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若直線與的斜率之和為2，證明：過定點(diǎn).

【答案】（1）（2）見證明

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)，代入橢圓C的方程，利用點(diǎn)差法及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得a，b的關(guān)系，可得e；

（2）聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得M，N的橫坐標(biāo)的和與積，由直線AM與AN的斜率之和為2可得m與k的關(guān)系，再由直線系方程得答案．

（1）設(shè)點(diǎn)，，由于點(diǎn)為線段的中點(diǎn)

所以，

又兩式作差，

所以，即；

（2）由（1）結(jié)合上頂點(diǎn)，橢圓的方程為，

設(shè)點(diǎn)，

聯(lián)立得，則韋達(dá)定理得，

據(jù)題意可得

代入韋達(dá)定理得，化簡(jiǎn)得，

所以直線為，過定點(diǎn)，

綜上，直線過定點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額（單位：億元）的折線圖．

為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了與時(shí)間變量的兩個(gè)線性回歸模型．根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量的值依次為）建立模型①：；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量的值依次為）建立模型②：．

（1）分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值；

（2）你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠？并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】偶函數(shù)定義域?yàn)?/span>，其導(dǎo)函數(shù)是，當(dāng)時(shí)，有，則關(guān)于的不等式的解集為（ ）

A. B.

C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示，其中俯視圖是頂角為的等腰三角形，側(cè)視圖為直

角三角形，則該三棱錐的表面積為____，該三棱錐的外接球體積為____．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，直線過原點(diǎn)，傾斜角為，圓的圓心為，半徑為2，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

（1）分別寫出直線和圓的極坐標(biāo)方程；

（2）已知點(diǎn)為極軸與圓的交點(diǎn)（異于極點(diǎn)），點(diǎn)為直線與圓在第二象限的交點(diǎn)，求的面積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】有下列說法：

①若某商品的銷售量（件）關(guān)于銷售價(jià)格（元/件）的線性回歸方程為，當(dāng)銷售價(jià)格為10元時(shí)，銷售量一定為300件；

②線性回歸直線一定過樣本點(diǎn)中心；

③若兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的值越接近于1；

④在殘差圖中，殘差點(diǎn)比較均勻落在水平的帶狀區(qū)域中即可說明選用的模型比較合適，與帶狀區(qū)域的寬度無關(guān)；

⑤在線性回歸模型中，相關(guān)指數(shù)表示解釋變量對(duì)于預(yù)報(bào)變量變化的貢獻(xiàn)率，越接近于1，表示回歸的效果越好；

其中正確的結(jié)論有幾個(gè)（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知菱形的對(duì)角線，交于點(diǎn)，，，將沿折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)位置，滿足為等邊三角形.

（1）求證：；

（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（2017高考新課標(biāo)Ⅲ，理19）如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．

（1）證明：平面ACD⊥平面ABC；

（2）過AC的平面交BD于點(diǎn)E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角D–AE–C的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】 已知函數(shù)f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.

(1)當(dāng)a＝－3時(shí)，求不等式f(x)≥3的解集；

(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a的取值范圍．

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同步練習(xí)冊(cè)答案