Question

已知f（x）=4x+ax2-

2

3

x3(x∈R)在區(qū)間[-1，1]上是增函數(shù)．
（Ⅰ）求實數(shù)a的值組成的集合A；
（Ⅱ）設關(guān)于x的方程f（x）=2x+

1

3

x3的兩個非零實根為x₁、x₂．試問：是否存在實數(shù)m，使得不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接求出函數(shù)的導函數(shù)，轉(zhuǎn)化成不等式恒成立問題解決即可；
（Ⅱ）利用韋達定理先求出|x₁-x₂|，變?yōu)椴坏仁胶愠闪�問題，再構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的導數(shù)求最值即可解決．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=4+2ax-2x²，∵f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)，
∴f'（x）≥0對x∈[-1，1]恒成立，
即x²-ax-2≤0對x∈[-1，1]恒成立．①
設φ（x）=x²-ax-2，
①?

φ(1)=1-a-2≤0 φ(-1)=1+a-2≤0

?-1≤a≤1，
∵對x∈[-1，1]，只有當a=1時，f'（-1）=0以及當a=-1時，f'（1）=0
∴A={a|-1≤a≤1}．

（Ⅱ）由4x+ax2-

2

3

x3=2x+

1

3

x3，得x=0，或x²-ax-2=0，
∵△=a²+8＞0
∴x₁，x₂是方程x²-ax-2=0的兩非零實根，x₁+x₂=a，x₁x₂=-2，
從而|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

a2+8

．
∵-1≤a≤1，∴|x₁-x₂|=

a2+8

≤3．
要使不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，
當且僅當m²+tm+1≥3對任意t∈[-1，1]恒成立，
即m²+tm-2≥0對任意t∈[-1，1]恒成立．②
設g（t）=m²+tm-2=mt+（m²-2），
②?g（-1）=m²-m-2≥0且g（1）=m²+m-2≥0，
?m≥2或m≤-2．
所以，存在實數(shù)m，使不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，
其取值范圍是{m|m≥2，或m≤-2}．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，導數(shù)的應用和不等式等有關(guān)知識，考查數(shù)形結(jié)合及分類討論思想和靈活運用數(shù)學知識分析問題和解決問題的能力．