【題目】已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)),的導函數(shù),且.

1)求實數(shù)的值;

2)若函數(shù)處的切線經(jīng)過點,求函數(shù)的極值;

3)若關于的不等式對于任意的恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

【答案】1;(2)函數(shù)的極小值為,極大值為;(3.

【解析】

1)求出函數(shù)的導數(shù),由,可求出實數(shù)的值;

2)利用導數(shù)求出函數(shù)處的切線方程,將點代入切線方程,可求出實數(shù)的值,然后利用導數(shù)求出函數(shù)的極值點,并列表分析函數(shù)的單調性,由此可得出函數(shù)的極小值和極大值;

3)方法1:由,得,,然后分兩種情況討論,在時可驗證不等式成立,在時,由參變量分離法得,并構造函數(shù),并利用導數(shù)求出函數(shù)在區(qū)間上的最小值,由此可得出實數(shù)的取值范圍;

方法2:解導數(shù)方程,得出,,然后分,五種情況討論,分析函數(shù)在區(qū)間上的單調性,求出函數(shù)的最大值,再解不等式可得出實數(shù)的取值范圍.

1)因為,所以

又因為,所以,解得.

2)因為,所以.

因為,所以.

因為,函數(shù)處的切線方程為且過點,

,解得.

因為,令,得,列表如下:

極大值

極小值

所以當時,函數(shù)取得極小值,

時,函數(shù)取得極大值為;

3)方法1:因為上恒成立,

所以上恒成立.

時,成立;

時,恒成立,記,

.

,

,所以函數(shù)在區(qū)間上單調遞增,

所以,即在區(qū)間上恒成立.

,令,得,

所以,函數(shù)在區(qū)間上單調遞減,在區(qū)間上單調遞增,

所以,所以,,

因此,實數(shù)的取值范圍是;

方法2:由(1)知,,

所以.

,得,.

①當時,即時,函數(shù)在區(qū)間上單調遞減,

由題意可知,滿足條件;

②當時,即時,函數(shù)在區(qū)間上單調遞增,在區(qū)間上單調遞減,

由題意可知,解得;

③當時,即時,

函數(shù)上單調遞減,在上單調遞增,在上單調遞減,

由題意可知,解得,所以;

④當時,即時,函數(shù)在區(qū)間上單調遞減,在區(qū)間上單調遞增,

由題意可知,解得.

又因為,所以;

⑤當時,即時,

函數(shù)上單調遞減,上單調遞增,在上單調遞減,

由題意可知,即.

,則,設,

,所以,函數(shù)在區(qū)間上單調遞增,

又因為時,,所以在區(qū)間上恒成立,所以.

綜上,,因此,實數(shù)的取值范圍是.

練習冊系列答案
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【題目】如圖所示,在四棱錐中,底面且邊長為的菱形,側面為正三角形,其所在平面垂直于底面.

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(2)求證:.

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【題目】某高校為調查學生喜歡“應用統(tǒng)計”課程是否與性別有關,隨機抽取了選修課程的60名學生,得到數(shù)據(jù)如下表:

喜歡統(tǒng)計課程

不喜歡統(tǒng)計課程

合計

男生

20

10

30

女生

10

20

30

合計

30

30

60

(1)判斷是否有99.5%的把握認為喜歡“應用統(tǒng)計”課程與性別有關?

(2)用分層抽樣的方法從喜歡統(tǒng)計課程的學生中抽取6名學生作進一步調查,將這6名學生作為一個樣本,從中任選3人,求恰有2個男生和1個女生的概率.

下面的臨界值表供參考:

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

(參考公式:,其中

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【題目】某飲品店提供、兩種口味的飲料,且每種飲料均有大杯、中杯、小杯三種容量.甲、乙二人各隨機點一杯飲料,且甲只點大杯,乙點中杯或小杯,則甲、乙所點飲料的口味相同的概率為______.

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【題目】若無窮數(shù)列滿足:只要,必有,則稱具有性質.

1)若具有性質,且, ,求;

2)若無窮數(shù)列是等差數(shù)列,無窮數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列, , 判斷是否具有性質,并說明理由;

3)設是無窮數(shù)列,已知.求證:對任意都具有性質的充要條件為是常數(shù)列”.

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(1)求橢圓的方程;

(2)若直線交橢圓兩點,在直線上存在點,使得為等邊三角形,的值.

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運動達人

參與者

合計

男教師

60

20

80

女教師

40

20

60

合計

100

40

140

(Ⅰ)根據(jù)上表說明,能否在犯錯誤概率不超過0.05的前提下認為獲得“運動達人”稱號與性別有關?

(Ⅱ)從具有“運動達人”稱號的教師中,采用按性別分層抽樣的方法選取10人參加全國第四屆“萬步有約”全國健走激勵大賽某賽區(qū)的活動,若從選取的10人中隨機抽取3人作為代表參加開幕式,設抽取的3人中女教師人數(shù)為,寫出的分布列并求出數(shù)學期望.

參考公式:,其中.

參考數(shù)據(jù):

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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Ⅰ)求證:平面;

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