Question

已知函數(shù)f（x）=a+

2

2x-1

為奇函數(shù)．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）證明|f（x）|＞1．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明,函數(shù)奇偶性的性質(zhì),絕對(duì)值不等式的解法

專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用,推理和證明

分析：（Ⅰ）通過(guò)奇函數(shù)的定義，通過(guò)比較系數(shù)，即可求出實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）證明利用函數(shù)的解析式，通過(guò)x大于0，小于0，分別求解函數(shù)的最值，集合函數(shù)的奇偶性證明|f（x）|＞1．

解答： 解：（Ⅰ）解：函數(shù)定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），
∵f（x）為奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x），
即a+

2

2-x-1

=-(a+

2

2x-1

)，
解得a=1．…（6分）
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知f(x)=1+

2

2x-1

，
①當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，2x -1＞0，f(x)=1+

2

2x-1

＞1；…（8分）
②當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，-x∈（0，+∞），f（-x）＞1，…（10分）
由f（x）為奇函數(shù)知f（x）=-f（-x）＜-1，
由①、②知|f（x）|＞1．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性，不等式的證明，函數(shù)的最值，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．