Question

已知x，y∈（-

1

2

，

1

2

），m∈R且m≠0，若

2x x2+1 +sinx+2m=0 2y 4y2+1 +sinycosy-m=0

，則

y

x

=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專(zhuān)題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：設(shè)2y=t，由

2y

4y2+1

+sinycosy-m=0可得

2t

t2+1

+sint-2m=0，即

2t

t2+1

+sint=2m．令f（x）=

2x

x2+1

+sinx，x∈（-

1

2

，

1

2

），利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．

解答： 解：設(shè)2y=t，由

2y

4y2+1

+sinycosy-m=0可得

2t

t2+1

+sint-2m=0，即

2t

t2+1

+sint=2m．
令f（x）=

2x

x2+1

+sinx，x∈（-

1

2

，

1

2

），
則f′(x)=

2(1-x2)

(x2+1)2

+cosx＞0，
∴f（x）=

2x

x2+1

+sinx在x∈（-

1

2

，

1

2

）單調(diào)遞增，
比較

-2x

x2+1

+sin(-x)=2m與

2t

t2+1

+sint=2m．
可得t=-x，即2y=-x，
∵m≠0，∴x≠0．
∴

y

x

=-

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、倍角公式，考查了轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．