Question

已知函數(shù)f（x）=x²+bx+c（b，c∈R），g（x）=2x+b，且對于任意x∈R，恒有g(shù)（x）≤f（x）．
（1）證明：c≥1，c≥|b|
（2）設(shè)函數(shù)h（x）滿足：f（x）+h（x）=（x+c）²．證明：函數(shù)h（x）在（0，+∞）內(nèi)沒有零點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由△≤0可得c≥1，再由不等式的性質(zhì)可得c≥|b|；
（2）只需證明h（x）在x∈（0，+∞）上恒大于0即可．

解答： 證明：（1）根據(jù)題意，可得：
任意x∈R，恒有x²+bx+c-（2x+b）≥0，
所以（b-2）²-4（c-b）≤0，
則c≥

b2

4

+1≥1，
同時c≥

b2

4

+1≥2

b2 4 ×1

=

.

b

.

．
故c≥1，c≥|b|；
（2）由題可知h（x）=（x+c）²-（x²+bx+c）
=（2c-b）x+c（c-1）
又x＞0，
所以（2c-b）x+c（c-1）＞c（c-1）≥0，
即h（x）＞0，
故函數(shù)h（x）在（0，+∞）內(nèi)沒有零點(diǎn)．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)及不等式的性質(zhì)，比較△與0的大小關(guān)系是解題的關(guān)鍵．