Question

如圖，已知橢圓的方程為，雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)為、.過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作直線(xiàn)，使，又與交于點(diǎn)，設(shè)與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)由上至下依次為、.

（1）若與的夾角為，且雙曲線(xiàn)的焦距為，求橢圓的方程；
（2）求的最大值.

Answer 1

（1）；（2）.

解析試題分析：（1）先確定雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程，根據(jù)條件兩條漸近線(xiàn)的夾角為，確定與的等量關(guān)系，再結(jié)合的值，確定與的值，最終確定橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，并設(shè)得到，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到，，再由點(diǎn)在橢圓上這一條件將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，通過(guò)化簡(jiǎn)得到與離心率之間的關(guān)系式，結(jié)合基本不等式得到的最大值.
試題解析：（1）因?yàn)殡p曲線(xiàn)方程為，
所以雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為．
因?yàn)閮蓾u近線(xiàn)的夾角為且，所以．
所以，所以．
 
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/0d/9/hweqb.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，
所以，．
所以橢圓的方程為；
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/ac/5/156fo3.png" style="vertical-align:middle;" />，所以直線(xiàn)與的方程為，其中.
因?yàn)橹本�(xiàn)的方程為，
聯(lián)立直線(xiàn)與的方程解得點(diǎn).
設(shè)，則.
因?yàn)辄c(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，則有．
解得，.
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，
所以．
即．
等式兩邊同除以得，，
所以，
 
所以當(dāng)，即時(shí)，取得最大值．
故的最大值為.
考點(diǎn)：1.雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程；2.橢圓的方程；3.三點(diǎn)共線(xiàn)的轉(zhuǎn)化