Question

10．若函數(shù)f（x）=$\sqrt{-{x}^{2}+4x-3}-kx-k+1$有兩個零點，則k的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{1}{2}$]
• B． （$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$]
• C． [$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$）
• D． [$\frac{1}{4}$，1）

Answer 1

分析 若函數(shù)f（x）=$\sqrt{-{x}^{2}+4x-3}-kx-k+1$有兩個零點，則函數(shù)y=$\sqrt{-{x}^{2}+4x-3}$與y=kx+k-1的圖象有兩個交點，數(shù)形結(jié)合可得答案．

解答 解：若函數(shù)f（x）=$\sqrt{-{x}^{2}+4x-3}-kx-k+1$有兩個零點，
則函數(shù)y=$\sqrt{-{x}^{2}+4x-3}$與y=kx+k-1的圖象有兩個交點，
函數(shù)y=$\sqrt{-{x}^{2}+4x-3}$的圖象是以（2，0）點為圓心，半徑為1的半圓，
函數(shù)y=kx+k-1的圖象表示恒過（-1，-1）點的直線，如下圖所示：

由圖可得：函數(shù)y=kx+k-1圖象過A（1，0）時，k=$\frac{1}{2}$，
函數(shù)y=kx+k-1圖象與半圓切與C點時，$\frac{|2k+k-1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=1$，解得：k=$\frac{3}{4}$，或k=0（舍去），
綜上可得，k∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$），
故選：C

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的零點，直線與圓的位置關(guān)系，難度中檔．