Question

2．在用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在某一周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	$\frac{π}{4}$	π	$\frac{7π}{4}$	$\frac{5π}{2}$	$\frac{13π}{4}$
Asin（ωx+φ）	0	3	0	-3	0

（Ⅰ）請(qǐng)將上表空格中處所缺的數(shù)據(jù)填寫在答題卡的相應(yīng)位置上，并直接寫出函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）將y=f（x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的$\frac{1}{3}$，再將所得圖象向左平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位，得到y(tǒng)=g（x）的圖象，求g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)用五點(diǎn)法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）在一個(gè)周期上的圖象的方法，將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，直接寫出函數(shù)f（x）的解析式．
（Ⅱ）由條件利用y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，以及正弦函數(shù)的圖象的性質(zhì)，得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)可得：A=3，ωπ+φ=$\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{2}$ω+φ=$\frac{3π}{2}$，
解得ω=$\frac{2}{3}$，φ=-$\frac{π}{6}$，數(shù)據(jù)補(bǔ)全如下表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	$\frac{π}{4}$	π	$\frac{7π}{4}$	$\frac{5π}{2}$	$\frac{13π}{4}$
Asin（ωx+φ）	0	3	0	-3	0

且函數(shù)表達(dá)式為f（x）=3sin（$\frac{2}{3}$x-$\frac{π}{6}$）．
（Ⅱ）函數(shù)y=3sin（$\frac{2}{3}$x-$\frac{π}{6}$）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的$\frac{1}{3}$（縱坐標(biāo)不變），得到3sin（2x-$\frac{π}{6}$），
再將所得函數(shù)的圖象向左平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位，得到g（x）=3sin[2（x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{6}$]=3sin（2x+$\frac{π}{3}$），
由2k$π-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ$+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ$-\frac{5π}{12}$，k$π+\frac{π}{12}$]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查用五點(diǎn)法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）在一個(gè)周期上的圖象，利用了y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，屬于中檔題．