【題目】已知圓，為上任意一點(diǎn)，，的垂直平分線交于點(diǎn)，記點(diǎn)的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）已知點(diǎn)，過的直線交于兩點(diǎn)，證明：直線的斜率與直線的斜率之和為定值.

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）由PF的中垂線可得GP＝GF，而GP+GE＝PE＝4，進(jìn)而可得G的軌跡為橢圓；且可得F，E為橢圓的焦點(diǎn)，PE的長(zhǎng)為長(zhǎng)軸長(zhǎng)，進(jìn)而求出橢圓的方程；（2）設(shè)直線MN的方程，與橢圓聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，進(jìn)而求出直線SM，SN的斜率之和，將之和及之積代入，由由于Q在直線上，可得參數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而可得斜率之和為定值．

（1）因?yàn)辄c(diǎn)在的垂直平分線上，所以.

而，

所以動(dòng)點(diǎn)滿足，

橢圓定義可知，點(diǎn)在以、為焦點(diǎn)的橢圓上，且，

所以，

所以曲線的方程為.

（2）由題意知直線斜率存在.

設(shè)其方程為，，，

聯(lián)立方程組代入消元并整理得：

，

則，.

，將直線方程代入，整理得：

，

韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)得：.

因?yàn)橹本�過點(diǎn)，所以，

代入，得.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知某保險(xiǎn)公司的某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為（單位：元），繼續(xù)購買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：

上年度出險(xiǎn)次數(shù)

0

1

2

3

≥4

保費(fèi)（元）

隨機(jī)調(diào)查了該險(xiǎn)種的名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險(xiǎn)情況，得到下表：

出險(xiǎn)次數(shù)

0

1

2

3

≥4

頻數(shù)

280

80

24

12

4

該保險(xiǎn)公司這種保險(xiǎn)的賠付規(guī)定如下：

出險(xiǎn)序次

第1次

第2次

第3次

第4次

第5次及以上

賠付金額（元）

將所抽樣本的頻率視為概率.

（1）求本年度續(xù)保人保費(fèi)的平均值的估計(jì)值；

（2）按保險(xiǎn)合同規(guī)定，若續(xù)保人在本年度內(nèi)出險(xiǎn)次，則可獲得賠付元；依此類推，求本年度續(xù)保人所獲賠付金額的平均值的估計(jì)值；

（3）續(xù)保人原定約了保險(xiǎn)公司的銷售人員在上午之間上門簽合同，因?yàn)槔m(xù)保人臨時(shí)有事，外出的時(shí)間在上午之間，請(qǐng)問續(xù)保人在離開前見到銷售人員的概率是多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某班A、B兩名學(xué)生六次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)（百分制）如圖所示：

①A同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)大于B同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)；

②A同學(xué)的平均分比B同學(xué)高；

③A同學(xué)的平均分比B同學(xué)低；

④A同學(xué)成績(jī)方差小于B同學(xué)的方差，

以上說法中正確的是（ ）

A.③④B.①②④C.②④D.①③④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下圖是某省從1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增確診病例變化曲線圖.

若該省從1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增確診人數(shù)按日期順序排列構(gòu)成數(shù)列，的前n項(xiàng)和為，則下列說法中正確的是（ ）

A.數(shù)列是遞增數(shù)列B.數(shù)列是遞增數(shù)列

C.數(shù)列的最大項(xiàng)是D.數(shù)列的最大項(xiàng)是

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸，兩種坐標(biāo)系中的長(zhǎng)度單位相同，已知曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求的直角坐標(biāo)方程；

（2）直線（為參數(shù)）與曲線交于兩點(diǎn)，與軸交于，求.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】“總把新桃換舊符”（王安石）、“燈前小草寫桃符”（陸游），春節(jié)是中華民族的傳統(tǒng)節(jié)日，在宋代人們用寫“桃符”的方式來祈福避禍，而現(xiàn)代人們通過貼“�！弊�、貼春聯(lián)、掛燈籠等方式來表達(dá)對(duì)新年的美好祝愿，某商家在春節(jié)前開展商品促銷活動(dòng)，顧客凡購物金額滿50元，則可以從“�！弊�、春聯(lián)和燈籠這三類禮品中任意免費(fèi)領(lǐng)取一件，若有4名顧客都領(lǐng)取一件禮品，則他們中有且僅有2人領(lǐng)取的禮品種類相同的概率是（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，傾斜角為的直線的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)）.在以為極點(diǎn)、軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系（兩種坐標(biāo)系的單位長(zhǎng)度相同）中，曲線：的焦點(diǎn)的極坐標(biāo)為.

（1）求常數(shù)的值；

（2）設(shè)與交于、兩點(diǎn)，且，求的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)），在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)中，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）將與的方程化為極坐標(biāo)方程；

（2）若曲線與的公共點(diǎn)都在上，，求r.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，若在上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若在，處取得極值，且方程在上有唯一解時(shí)，的取值范圍為或，求的最大值.

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