Question

某選手在電視搶答賽中答對每道題的概率都是

1

3

，答錯每道題的概率都是

2

3

，答對一道題積1分，答錯一道題積-1分，答完n
道題后的總積分記為S_n．
（1）答完2道題后，求同時滿足S₁=1且S₂≥0的概率；
（2）答完5道題后，求同時滿足S₁=1且S₅=1的概率；
（3）答完5道題后，設ξ=|S₅|，求ξ的分布列及其數(shù)學期望．

Answer 1

分析：（1）由題意“S₁=1 且S₂≥0”表示“答完2 題，第一題答對，第二題答錯；或第一題答對，第二題也答對”這兩種情況是互斥的，得到概率．
（2）由題意“S₁=1 且S₅=1”表示“答完5 道題，第一題答對，后四題答對兩道，答錯兩道”，根據(jù)獨立重復試驗的概率公式得到結果．
（3）因為答完5道題，結果可能是答對0 道，此時S₅=-5，ξ=5；可能是答對1 道，此時S₅=-3，ξ=3；可能是答對2 道，此時S₅=-1，ξ=1；可能是答對3 道，此時S₅=1，ξ=1；可能是答對4 道，此時S₅=3，ξ=3；可能是答對5 道，此時S₅=5，ξ=5，得到概率，寫出分布列和期望值．

解答：解：（1）由題意“S₁=1 且S₂≥0”表示“答完2 題，第一題答對，第二題答錯；
或第一題答對，第二題也答對”
此時概率P=

1

3

•

2

3

+

1

3

•

1

3

=

1

3

 
（2）由題意“S₁=1 且S₅=1”表示“答完5 道題，第一題答對，后四題答對兩道，答錯兩道”
此時概率P=

1

3

•

C

2 4

(

1

3

)2•(

2

3

)2=

8

81

 
（3）因為答完5道題，結果可能是答對0 道，此時S₅=-5，ξ=5；可能是答對1 道，此時S₅=-3，ξ=3；可能是答對2 道，此時S₅=-1，ξ=1；可能是答對3 道，此時S₅=1，ξ=1；可能是答對4 道，此時S₅=3，ξ=3；可能是答對5 道，此時S₅=5，ξ=5，∴ξ 的取值只能是1，3，5，
P(ξ=3)=

C

1 5

1

3

(

2

3

)4+

C

4 5

(

1

3

)4

2

3

=

10

27

，
P(ξ=1)=

C

2 5

(

1

3

)2(

2

3

)3+

C

3 5

(

1

3

)3(

2

3

)2=

40

81

 
，P(ξ=5)=

C

0 5

(

2

3

)5+

C

5 5

(

1

3

)5=

11

81

 
∴ξ 的分布列為

ξ		3
P		10 27

∴Eξ=

185

81

點評：本題考查離散型隨機變量飛分布列和期望值，本題解題的關鍵是看出變量對應的事件，結合事件寫出變量對應的概率