【題目】在直角坐標(biāo)系中,已知圓C的圓心坐標(biāo)為(2,0),半徑為 ,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.,直線l的參數(shù)方程為: (t為參數(shù)).
(1)求圓C和直線l的極坐標(biāo)方程;
(2)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(1, ),直線l與圓C相交于A,B,求|PA|+|PB|的值.
【答案】
(1)解:圓C的直角坐標(biāo)方程為(x﹣2)2+y2=2,
代入圓C得:(ρcosθ﹣2)2+ρ2sin2θ=2
化簡(jiǎn)得圓C的極坐標(biāo)方程:ρ2﹣4ρcosθ+2=0
由 得x+y=1,∴l(xiāng)的極坐標(biāo)方程為ρcosθ+ρsinθ=1
(2)解:由 得點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為P(0,1),
∴直線l的參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)方程可寫(xiě)成
代入圓C得:
化簡(jiǎn)得: ,
∴ ,∴t1<0,t2<0
∴
【解析】(1) 代入圓C得圓C的極坐標(biāo)方程;直線l的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化成普通方程,進(jìn)而求得直線l的極坐標(biāo)方程;(2)將直線l的參數(shù)方程代入圓的方程,求得關(guān)于t的一元二次方程,令A(yù),B對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為t1 , t2 , 根據(jù)韋達(dá)定理、直線與圓的位置關(guān)系,即可求得|PA|+|PB|的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】四棱錐S-ABCD的底面ABCD為直角梯形,AB∥CD,AB⊥BC,AB=2BC=2CD=2,△SAD為正三角形.
(Ⅰ)點(diǎn)M為棱AB上一點(diǎn),若BC∥平面SDM,AM=λAB,求實(shí)數(shù)λ的值;
(Ⅱ)若BC⊥SD,求二面角A-SB-C的余弦值.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)由線面平行的性質(zhì)定理可得,據(jù)此可知四邊形BCDM為平行四邊形,據(jù)此可得.
(Ⅱ)由幾何關(guān)系,在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作直線于點(diǎn),以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn),EA方向?yàn)?/span>X軸,EC方向?yàn)?/span>Y軸,ES方向?yàn)?/span>Z軸建立空間坐標(biāo)系,據(jù)此可得平面的一個(gè)法向量,平面的一個(gè)法向量,據(jù)此計(jì)算可得二面角余弦值為.
(Ⅰ)因?yàn)?/span>平面SDM, 平面ABCD,平面SDM 平面ABCD=DM,所以,
因?yàn)?/span>,所以四邊形BCDM為平行四邊形,又,所以M為AB的中點(diǎn).
因?yàn)?/span> .
(Ⅱ)因?yàn)?/span> , ,所以平面,又因?yàn)?/span>平面,
所以平面平面,平面平面,
在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作直線于點(diǎn),則平面,
在和中,因?yàn)?/span>,所以,
又由題知,所以所以,
以下建系求解.以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn),EA方向?yàn)?/span>X軸,EC方向?yàn)?/span>Y軸,ES方向?yàn)?/span>Z軸建立如圖所示空間坐標(biāo)系,
則,,,,,
,,,,
設(shè)平面的法向量,則,所,
令得為平面的一個(gè)法向量,
同理得為平面的一個(gè)法向量,
,因?yàn)槎娼?/span>為鈍角.
所以二面角余弦值為.
【點(diǎn)睛】
本題考查了立體幾何中的判斷定理和二面角的求解問(wèn)題,意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力;解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化,通過(guò)嚴(yán)密推理,明確角的構(gòu)成.同時(shí)對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問(wèn)題,往往可以利用空間向量法,通過(guò)求解平面的法向量,利用向量的夾角公式求解.
【題型】解答題
【結(jié)束】
19
【題目】小明在石家莊市某物流派送公司找到了一份派送員的工作,該公司給出了兩種日薪薪酬方案.甲方案:底薪100元,每派送一單獎(jiǎng)勵(lì)1元;乙方案:底薪140元,每日前55單沒(méi)有獎(jiǎng)勵(lì),超過(guò)55單的部分每單獎(jiǎng)勵(lì)12元.
(Ⅰ)請(qǐng)分別求出甲、乙兩種薪酬方案中日薪y(單位:元)與送貨單數(shù)n的函數(shù)關(guān)系式;
(Ⅱ)根據(jù)該公司所有派送員100天的派送記錄,發(fā)現(xiàn)派送員的日平均派送單數(shù)滿足以下條件:在這100天中的派送量指標(biāo)滿足如圖所示的直方圖,其中當(dāng)某天的派送量指標(biāo)在(,](n=1,2,3,4,5)時(shí),日平均派送量為50+2n單.若將頻率視為概率,回答下列問(wèn)題:
①根據(jù)以上數(shù)據(jù),設(shè)每名派送員的日薪為X(單位:元),試分別求出甲、乙兩種方案的日薪X的分布列,數(shù)學(xué)期望及方差;
②結(jié)合①中的數(shù)據(jù),根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)的思想,幫助小明分析,他選擇哪種薪酬方案比較合適,并說(shuō)明你的理由。
(參考數(shù)據(jù):0.62=0.36,1.42=1.9 6,2.6 2=6.76,3.42=1 1.56,3.62=12.96,4.62=21.16,15.62=243.36,20.42=416.16,44.42=1971.36)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|x﹣a|+|x+2|.
(1)當(dāng)a=1 時(shí),求不等式f(x)≤5的解集;
(2)x0∈R,f(x0)≤|2a+1|,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若,當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某機(jī)構(gòu)為了研究人的腳的大小與身高之間的關(guān)系,隨機(jī)測(cè)量了20人,得到如下數(shù)據(jù):
(1) 若“身高大于175厘米”的為“高個(gè)”,“身高小于等于175厘米”的為“非高個(gè)”;“腳長(zhǎng)大于42碼”的為“大腳”,“腳長(zhǎng)小于等于42碼”的為“非大腳”,請(qǐng)根據(jù)上表數(shù)據(jù)完成下面的2×2列聯(lián)表.
(2)根據(jù)(1)中的2×2列聯(lián)表,在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下,能否認(rèn)為腳的大小與身高之間有關(guān)系?
,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在梯形中,,,四邊形
為矩形,平面平面,.
(I)求證:平面;
(II)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng),設(shè)平面與平面所成二面角的平面角為,
試求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)p:關(guān)于x的不等式ax>1的解集是{x|x<0};q:函數(shù) 的定義域?yàn)镽.若p∨q是真命題,p∧q是假命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某商場(chǎng)銷售某種品牌的空調(diào)器,每周周初購(gòu)進(jìn)一定數(shù)量的空調(diào)器,商場(chǎng)每銷售一臺(tái)空調(diào)器可獲利500元,若供大于求,則每臺(tái)多余的空調(diào)器需交保管費(fèi)100元;若供不應(yīng)求,則可從其他商店調(diào)劑供應(yīng),此時(shí)每臺(tái)空調(diào)器僅獲利潤(rùn)200元.
(Ⅰ)若該商場(chǎng)周初購(gòu)進(jìn)20臺(tái)空調(diào)器,求當(dāng)周的利潤(rùn)(單位:元)關(guān)于當(dāng)周需求量n(單位:臺(tái),n∈N)的函數(shù)解析式f(n);
(Ⅱ)該商場(chǎng)記錄了去年夏天(共10周)空調(diào)器需求量n(單位:臺(tái)),整理得表:
周需求量n | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 |
頻數(shù) | 1 | 2 | 3 | 3 | 1 |
以10周記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率,若商場(chǎng)周初購(gòu)進(jìn)20臺(tái)空調(diào)器,X表示當(dāng)周的利潤(rùn)(單位:元),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】是定義在R上的函數(shù),對(duì)∈R都有,且當(dāng)>0時(shí),<0,且=1.
(1)求的值;
(2)求證:為奇函數(shù);
(3)求在[-2,4]上的最值.
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