【題目】四棱錐S－ABCD的底面ABCD為直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2BC＝2CD＝2，△SAD為正三角形．

（Ⅰ）點(diǎn)M為棱AB上一點(diǎn)，若BC∥平面SDM，AM＝λAB，求實(shí)數(shù)λ的值；

（Ⅱ）若BC⊥SD，求二面角A－SB－C的余弦值．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由線面平行的性質(zhì)定理可得，據(jù)此可知四邊形BCDM為平行四邊形，據(jù)此可得.

（Ⅱ）由幾何關(guān)系，在平面內(nèi)過點(diǎn)作直線于點(diǎn)，以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EA方向?yàn)?/span>X軸，EC方向?yàn)?/span>Y軸，ES方向?yàn)?/span>Z軸建立空間坐標(biāo)系，據(jù)此可得平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量，據(jù)此計(jì)算可得二面角余弦值為.

（Ⅰ）因?yàn)?/span>平面SDM, 平面ABCD,平面SDM 平面ABCD=DM,所以，

因?yàn)?/span>,所以四邊形BCDM為平行四邊形，又,所以M為AB的中點(diǎn).

因?yàn)?/span> .

（Ⅱ）因?yàn)?/span> ， ，所以平面，又因?yàn)?/span>平面，

所以平面平面，平面平面，

在平面內(nèi)過點(diǎn)作直線于點(diǎn)，則平面，

在和中，因?yàn)?/span>，所以，

又由題知，所以所以，

以下建系求解.以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EA方向?yàn)?/span>X軸，EC方向?yàn)?/span>Y軸，ES方向?yàn)?/span>Z軸建立如圖所示空間坐標(biāo)系，

則，，，，，

，，，，

設(shè)平面的法向量，則，所，

令得為平面的一個(gè)法向量，

同理得為平面的一個(gè)法向量，

，因?yàn)槎娼?/span>為鈍角.

所以二面角余弦值為.

【點(diǎn)睛】

本題考查了立體幾何中的判斷定理和二面角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過嚴(yán)密推理，明確角的構(gòu)成.同時(shí)對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.

【題型】解答題
【結(jié)束】
19

【題目】小明在石家莊市某物流派送公司找到了一份派送員的工作，該公司給出了兩種日薪薪酬方案．甲方案：底薪100元，每派送一單獎(jiǎng)勵(lì)1元；乙方案：底薪140元，每日前55單沒有獎(jiǎng)勵(lì)，超過55單的部分每單獎(jiǎng)勵(lì)12元．

（Ⅰ）請(qǐng)分別求出甲、乙兩種薪酬方案中日薪y（單位：元）與送貨單數(shù)n的函數(shù)關(guān)系式；

（Ⅱ）根據(jù)該公司所有派送員100天的派送記錄，發(fā)現(xiàn)派送員的日平均派送單數(shù)滿足以下條件：在這100天中的派送量指標(biāo)滿足如圖所示的直方圖，其中當(dāng)某天的派送量指標(biāo)在（，]（n＝1，2，3，4，5）時(shí)，日平均派送量為50＋2n單．若將頻率視為概率，回答下列問題：

①根據(jù)以上數(shù)據(jù)，設(shè)每名派送員的日薪為X（單位：元），試分別求出甲、乙兩種方案的日薪X的分布列，數(shù)學(xué)期望及方差；

②結(jié)合①中的數(shù)據(jù)，根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)的思想，幫助小明分析，他選擇哪種薪酬方案比較合適，并說明你的理由。

（參考數(shù)據(jù)：0．62＝0．36，1．42＝1．9 6，2．6 2＝6．76，3．42＝1 1．56，3．62＝12．96，4．62＝21．16，15．62＝243．36，20．42＝416．16，44．42＝1971．36）

【答案】（Ⅰ）甲方案的函數(shù)關(guān)系式為： ，乙方案的函數(shù)關(guān)系式為：；（Ⅱ）①見解析，②見解析.

【解析】

（Ⅰ）由題意可得甲方案中派送員日薪（單位：元）與送單數(shù)的函數(shù)關(guān)系式為： ， 乙方案中派送員日薪（單位：元）與送單數(shù)的函數(shù)關(guān)系式為：.

（Ⅱ）①由題意求得X的分布列，據(jù)此計(jì)算可得，，.

②答案一：由以上的計(jì)算可知，遠(yuǎn)小于，即甲方案日工資收入波動(dòng)相對(duì)較小，所以小明應(yīng)選擇甲方案.

答案二：由以上的計(jì)算結(jié)果可以看出，，所以小明應(yīng)選擇乙方案.

（Ⅰ）甲方案中派送員日薪（單位：元）與送單數(shù)的函數(shù)關(guān)系式為： ，

乙方案中派送員日薪（單位：元）與送單數(shù)的函數(shù)關(guān)系式為：

（Ⅱ）①由已知，在這100天中，該公司派送員日平均派送單數(shù)滿足如下表格：

單數(shù)

52

54

56

58

60

頻率

0.2

0.3

0.2

0.2

0.1

所以的分布列為：

152

154

156

158

160

0.2

0.3

0.2

0.2

0.1

所以

所以的分布列為：

140

152

176

200

0.5

0.2

0.2

0.1

所以

②答案一：由以上的計(jì)算可知，雖然，但兩者相差不大，且遠(yuǎn)小于，即甲方案日工資收入波動(dòng)相對(duì)較小，所以小明應(yīng)選擇甲方案.

答案二：由以上的計(jì)算結(jié)果可以看出，，即甲方案日工資期望小于乙方案日工資期望，所以小明應(yīng)選擇乙方案.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2017年兩會(huì)繼續(xù)關(guān)注了鄉(xiāng)村教師的問題,隨著城鄉(xiāng)發(fā)展失衡,鄉(xiāng)村教師待遇得不到保障,流失現(xiàn)象嚴(yán)重,教師短缺會(huì)嚴(yán)重影響鄉(xiāng)村孩子的教育問題,為此,某市今年要為某所鄉(xiāng)村中學(xué)招聘儲(chǔ)備未來三年的教師,現(xiàn)在每招聘一名教師需要2萬元,若三年后教師嚴(yán)重短缺時(shí)再招聘,由于各種因素,則每招聘一名教師需要5萬元,已知現(xiàn)在該鄉(xiāng)村中學(xué)無多余教師,為決策應(yīng)招聘多少鄉(xiāng)村教師搜集并整理了該市100所鄉(xiāng)村中學(xué)在過去三年內(nèi)的教師流失數(shù),得到如下的柱狀圖：記x表示一所鄉(xiāng)村中學(xué)在過去三年內(nèi)流失的教師數(shù),y表示一所鄉(xiāng)村中學(xué)未來四年內(nèi)在招聘教師上所需的費(fèi)用(單位：萬元)，n表示今年為該鄉(xiāng)村中學(xué)招聘的教師數(shù)，為保障鄉(xiāng)村孩子教育不受影響，若未來三年內(nèi)教師有短缺，則第四年馬上招聘.

(1)若n=19，求y與x的函數(shù)解析式；

(2)若要求“流失的教師數(shù)不大于n”的頻率不小于0.5，求n的最小值；

(3)假設(shè)今年該市為這100所鄉(xiāng)村中學(xué)的每一所都招聘了19個(gè)教師或20個(gè)教師，分別計(jì)算該市未來四年內(nèi)為這100所鄉(xiāng)村中學(xué)招聘教師所需費(fèi)用的平均數(shù)，以此作為決策依據(jù)，今年該鄉(xiāng)村中學(xué)應(yīng)招聘19名還是20名教師?

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知向量 =（2cosx，t）（t∈R）， =（sinx﹣cosx，1），函數(shù)y=f（x）= ，將y=f（x）的圖象向左平移 個(gè)單位長(zhǎng)度后得到y(tǒng)=g（x）的圖象且y=g（x）在區(qū)間[0， ]內(nèi)的最大值為 ．
（1）求t的值及y=f（x）的最小正周期；
（2）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若 g（ ﹣ ）=﹣1，a=2，求BC邊上的高的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）求在區(qū)間上的最小值.

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）.

令，得.

與的情況如上：

所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.

（Ⅱ）當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

所以在區(qū)間上的最小值為.

當(dāng)，即時(shí)，

由（Ⅰ）知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以在區(qū)間上的最小值為.

當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，

所以在區(qū)間上的最小值為.

綜上，當(dāng)時(shí)，的最小值為；

當(dāng)時(shí)，的最小值為；

當(dāng)時(shí)，的最小值為.

【題型】解答題
【結(jié)束】
19

【題目】已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn).

（1）求的方程；

（2）若點(diǎn)在上，過作的兩弦與，若，求證: 直線過定點(diǎn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別在底面棱長(zhǎng)為2的正三棱柱的側(cè)棱上，則該直角三角形斜邊的最小值為__________．

【答案】

【解析】如圖，不妨設(shè)在處， ，
則有 由
該直角三角形斜邊

故答案為.

【題型】填空題
【結(jié)束】
16

【題目】已知函數(shù)f（x）＝，g（x）＝，若函數(shù)y＝f（g（x））＋a有三個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2，x3（其中x1＜x2＜x3），則2g（x1）＋g（x2）＋g（x3）的取值范圍為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在如圖所示的三棱錐ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，D，E分別是BC，A1B1的中點(diǎn)．

（1）求證：DE∥平面ACC1A1；
（2）若AB⊥BC，AB=BC，∠ACB1=60°，求直線BC與平面AB1C所成角的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知f（x）=sinx﹣cosx，x∈[0，+∞）．
（1）證明： ；
（2）證明：當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）≤eax﹣2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（，）,其圖像與直線相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為,若對(duì)于任意的恒成立, 則的取值范圍是（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，已知圓C的圓心坐標(biāo)為（2，0），半徑為 ，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．，直線l的參數(shù)方程為： （t為參數(shù)）．
（1）求圓C和直線l的極坐標(biāo)方程；
（2）點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（1， ），直線l與圓C相交于A，B，求|PA|+|PB|的值．

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