Question

【題目】已知函數(shù).

(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性；

(2)若,當時,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

試題分析：（1）對函數(shù)求導來利用，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，這里注意對的討論；（2）要讓恒成立，應猜想函數(shù)在上單調(diào)遞增或遞減，而或恒成立；所以下面要做的是看，或恒成立，然后再看在上單調(diào)性.

試題解析：（1），則．

當時，對，有，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；

當時，由，得，由，得，

此時函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，

綜上，當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；

當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，

單調(diào)遞減區(qū)間為．

（2）易知當時，，故當．

先分析證明：．

要證，只需證，即證，

構造函數(shù)，則，

故函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，則成立．

當時，由（1）知，在上單調(diào)遞增，則在上恒成立；

當是地，由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

故當時，，所以，則不滿足題意．

所以滿足題意的實數(shù)的取值范圍是