【題目】如圖,在三棱錐V﹣ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB為等邊三角形,AC⊥BC且AC=BC= ,O,M分別為AB,VA的中點(diǎn).
(1)求證:VB∥平面MOC.
(2)求證:平面MOC⊥平面VAB.
(3)求二面角C﹣VB﹣A的平面角的余弦值.
【答案】
(1)證明:因?yàn)镺,M分別為AB,VA的中點(diǎn),
所以O(shè)M∥VB.
又因?yàn)镺M平面MOC,VB平面MOC,
所以VB∥平面MOC.
(2)證明:因?yàn)锳C=BC,O為AB中點(diǎn),
所以O(shè)C⊥AB.
因?yàn)槠矫鎂AB⊥平面ABC,平面VAB∩平面ABC=AB,
OC平面ABC,所以O(shè)C⊥平面VAB.
因?yàn)镺C平面MOC,
所以平面MOC⊥平面VAB
(3)解:由(2)知OC⊥面VAB,過(guò)O作OE⊥VB交VB于點(diǎn)E,連結(jié)CE,
因?yàn)镺C⊥面VAB,所以O(shè)C⊥VB,
則∠OEB即為二面角C﹣VB﹣A的平面角.
在直角三角形COE中,
OE= ,OC=1,CE=
,
所以cos∠OEB= .
故二面角C﹣VB﹣A的平面角的余弦值為
【解析】(1)由三角形中位線定理得OM∥VB,由此能證明VB∥平面MOC.(2)推導(dǎo)出OC⊥AB,從而OC⊥平面VAB,由此能證明平面MOC⊥平面VAB.(3)由OC⊥面VAB,過(guò)O作OE⊥VB交VB于點(diǎn)E,連結(jié)CE,則∠OEB即為二面角C﹣VB﹣A的平面角.由此能求出二面角C﹣VB﹣A的平面角的余弦值.
【考點(diǎn)精析】掌握直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定是解答本題的根本,需要知道平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡(jiǎn)記為:線線平行,則線面平行;一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面垂直.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)為常數(shù)
(1)當(dāng)在
處取得極值時(shí),若關(guān)于x的方程
在
上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.
(2)若對(duì)任意的,總存在
,使不等式
成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,函數(shù)f(x)=(5﹣a)x2﹣6x+a+5恒為正值,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的圖象與
軸相切,且切點(diǎn)在
軸的正半軸上.
(1)求曲線與
軸,直線
及
軸圍成圖形的面積
;
(2)若函數(shù)在
上的極小值不大于
,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某算法的程序框圖如圖所示,如果輸出的結(jié)果為5,57,則判斷框內(nèi)應(yīng)為( )
A.k≤6?
B.k≤5?
C.k>5?
D.k>4?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】給出最小二乘法下的回歸直線方程 =
x+
系數(shù)公式:
=
,
假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x(年)和所支出的維修費(fèi)用y(萬(wàn)元),有如表的統(tǒng)計(jì)資料:
使用年限x (年) | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
維修費(fèi)用y(萬(wàn)元) | 2.2 | 3.8 | 5.5 | 6.5 | 7.0 |
若由資料可知y對(duì)x呈線性相關(guān)關(guān)系,試求:
(1)線性回歸直線方程;
(2)根據(jù)回歸直線方程,估計(jì)使用年限為12年時(shí),維修費(fèi)用是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】每年的三月十二日,是中國(guó)的植樹(shù)節(jié),林管部門(mén)在植樹(shù)前,為保證樹(shù)苗的質(zhì)量,都會(huì)在植樹(shù)前對(duì)樹(shù)苗進(jìn)行檢測(cè).現(xiàn)從甲、乙兩批樹(shù)苗中各抽測(cè)了10株樹(shù)苗的高度,規(guī)定高于128厘米的為“良種樹(shù)苗”,測(cè)得高度如下(單位:厘米)
甲:137,121,131,120,129,119,132,123,125,133
乙:110,130,147,127,146,114,126,110,144,146
(1)根據(jù)抽測(cè)結(jié)果,完成答題卷中的莖葉圖,并根據(jù)你填寫(xiě)的莖葉圖,對(duì)甲、乙兩批樹(shù)苗的高度作比較,寫(xiě)出對(duì)兩種樹(shù)苗高度的統(tǒng)計(jì)結(jié)論;
(2)設(shè)抽測(cè)的10株甲種樹(shù)苗高度平均值為 ,將這10株樹(shù)苗的高度依次輸入按程序框圖進(jìn)行運(yùn)算,
(如圖)問(wèn)輸出的S大小為多少?并說(shuō)明S的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐S﹣ABC中,∠ABC=90°,SA⊥平面ABC,點(diǎn)A在SB和SC上的射影分別為E、D.
(1)求證:DE⊥SC;
(2)若SA=AB=BC=1,求直線AD與平面ABC所成角的余弦值.
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