Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若曲線與直線相切，求實數(shù)的值；

（2）記，求在上的最大值；

（3）當(dāng)時，試比較與的大小.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)時， ；當(dāng)時， ；（3）.

【解析】試題分析：（1）研究函數(shù)的切線主要是利用切點(diǎn)作為突破口求解；（2）通過討論函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性確定最值，要注意對字母m的討論；（3）比較兩個函數(shù)的大小主要是轉(zhuǎn)化為判斷兩個函數(shù)的差函數(shù)的符號，然后轉(zhuǎn)化為研究差函數(shù)的單調(diào)性研究其最值．

試題解析：（1）設(shè)曲線與相切于點(diǎn)，

由，知，解得，

又可求得點(diǎn)為，所以代入，得.

（2）因為，所以.

①當(dāng)，即時， ，此時在上單調(diào)遞增，

所以；

②當(dāng)即，當(dāng)時， 單調(diào)遞減，

當(dāng)時， 單調(diào)遞增， .

（i）當(dāng)，即時， ；

（ii）當(dāng)，即時， ；

③當(dāng)，即時， ，此時在上單調(diào)遞減，

所以.

綜上，當(dāng)時， ；

當(dāng)時， .

（3）當(dāng)時， ，

①當(dāng)時，顯然；

②當(dāng)時， ，

記函數(shù)，

則，可知在上單調(diào)遞增，又由知， 在上有唯一實根，且，則，即（*），

當(dāng)時， 單調(diào)遞減；當(dāng)時， 單調(diào)遞增，

所以，

結(jié)合（*）式，知，

所以，

則，即，所以.

綜上， .