Question

已知函數(shù)f（x）=sin

x

2

-

3

cos

x

2

+1
（1）求f（x）的最小正周期和遞減區(qū)間；
（2）求f（x）的最大值及取得最大值時(shí)的x的集合．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：化簡(jiǎn)三角函數(shù)，由周期公式可得周期，由整體法和三角函數(shù)的單調(diào)性易得f（x）單調(diào)性和最值．

解答： 解：化簡(jiǎn)可得f（x）=sin

x

2

-

3

cos

x

2

+1
=2sin（

x

2

-

π

3

）+1，
（1）f（x）的最小正周期T=

2π

1 2

=4π，
由2kπ+

π

2

≤

x

2

-

π

3

≤2kπ+

3π

2

可得4kπ+

5π

3

≤x≤4kπ+

11π

3

，
∴f（x）的遞減區(qū)間為[4kπ+

5π

3

，4kπ+

11π

3

]，k∈Z；
（2）當(dāng)

x

2

-

π

3

=2kπ+

π

2

即x=4kπ+

5π

3

，k∈Z時(shí)，函數(shù)取最大值，
且最大值為2×1+1=3，此時(shí)x的集合為{x|x=4kπ+

5π

3

，k∈Z}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)，涉及三角函數(shù)的單調(diào)性和最值，屬基礎(chǔ)題．