Question

命題
①?x∈R，使sinx+cosx=2
②對?x∈R，sinx+

1

sinx

≥2
③對?x∈(0，

π

2

)，tanx+

1

tanx

≥2
④?x∈R，使sinx+cosx=

2

，
其中真命題為（　　）

A．③

B．③④

C．②③④

D．①②③④

Answer 1

分析：利用輔助角公式，將sinx+cosx化成正弦型函數(shù)的形式，求出其值域后，可以判斷①，④的真假；
使用基本不等式求出sinx+

1

sinx

的值域，可以判斷②的真假；由x∈(0，

π

2

)，tanx＞0，

1

tanx

＞0，使用基本不等式可以判斷③的真假；進而得到答案．

解答：解：∵sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）∈[-

2

，

2

]；故①?x∈R，使sinx+cosx=2，錯誤；
④?x∈R，使sinx+cosx=

2

，正確；
∵對?x∈R，sinx+

1

sinx

≤-2或sinx+

1

sinx

≥2，故②對?x∈R，sinx+

1

sinx

≥2，錯誤；
③對x∈(0，

π

2

)，tanx＞0，

1

tanx

＞0，由基本不等式可得③?x∈(0，

π

2

)，tanx+

1

tanx

≥2，正確；
故答案為：B

點評：本題考查的知識點是全稱命題和特稱命題，其中根據(jù)基本不等式和正弦型函數(shù)的性質(zhì)，是解答本題的關(guān)鍵．