Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的值域；

（2）設， ， ，求函數(shù)的最小值；

（3）對（2）中的，若不等式對于任意的時恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ； (2) ；(3) .

【解析】試題分析：（1）利用函數(shù)單調(diào)性得證明方法證明函數(shù)在上是增函數(shù)，利用單調(diào)性求其值域；（2）通過換元法，問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最小值，利用對稱軸分類討論即可；（3）分離參數(shù)，求函數(shù)的最值，求最值時利用函數(shù)單調(diào)性.

試題解析：(1) 在任取且，則， ，

所以， ，即，

所以是上增函數(shù)，故當時， 取得最小值，當時， 取得最大值，所以函數(shù)的值域為.

(2) ， ，

令， ，則.

①當時， 在上單調(diào)遞增，故；

②當時， 在上單調(diào)遞減，故；

③當時， 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故；

綜上所述，

(3)由(2)知，當時， ，所以，

即，整理得， .

因為，所以對于任意的時恒成立.

令， ，問題轉(zhuǎn)化為.

在任取且，則， ，

所以， ，

①當時， ，所以，即，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；

②當時， ，所以，即，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；

綜上， ，從而.

所以，實數(shù)的取值范圍是.