【題目】函數(shù)對任意的滿足:,當時,
(1)求出函數(shù)在R上零點;
(2)求滿足不等式的實數(shù)的范圍.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】
(1)根據(jù)奇偶函數(shù)的定義、函數(shù)的周期定義,結(jié)合已知可以判斷出該函數(shù)的奇偶性和周期,可以判斷出時,的零點情況,最后利用函數(shù)的奇偶性和周期求出函數(shù)在R上零點;
(2)先判斷出當時,函數(shù)的單調(diào)性,再利用函數(shù)的奇偶性,可以化簡不等式,最后求出實數(shù)的范圍.
(1)因為 ,所以函數(shù)是周期為2的奇函數(shù).
因為,所以當時,函數(shù)沒有零點,根據(jù)奇函數(shù)的對稱性可知:當
,函數(shù)沒有零點,而,令,有,而由奇函數(shù)的性質(zhì)可知:,所以有,因此當時,函數(shù)有三個零點,又因為函數(shù)的周期是2,所以函數(shù)的零點為:,即;
(2)設,因此.
,
因為,所以,因此,故函數(shù)在時是增函數(shù).
因為函數(shù)是奇函數(shù),所以
因為 ,所以,,因此當時,根據(jù)單調(diào)性可知:
.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知圓與拋物線有一條斜率為1的公共切線.
(1)求.
(2)設與拋物線切于點,作點關于軸的對稱點,在區(qū)域內(nèi)過作兩條關于直線對稱的拋物線的弦,.連接.
①求證:;
②設面積為,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若曲線在點處的切線方程為,求的值;
(2)若的導函數(shù)存在兩個不相等的零點,求實數(shù)的取值范圍;
(3)當時,是否存在整數(shù),使得關于的不等式恒成立?若存在,求出的最大值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某景區(qū)欲建兩條圓形觀景步道(寬度忽略不計),如圖所示,已知,(單位:米),要求圓M與分別相切于點B,D,圓與分別相切于點C,D.
(1)若,求圓的半徑;(結(jié)果精確到0.1米)
(2)若觀景步道的造價分別為每米0.8千元與每米0.9千元,則當多大時,總造價最低?最低總造價是多少?(結(jié)果分別精確到0.1°和0.1千元)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓經(jīng)過點,其左焦點為.過點的直線交橢圓于、兩點,交軸的正半軸于點.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點且與垂直的直線交橢圓于、兩點,若四邊形的面積為,求直線的方程;
(3)設,,求證:為定值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某地擬建造一座體育館,其設計方案側(cè)面的外輪廓線如圖所示:曲線是以點為圓心的圓的一部分,其中,是圓的切線,且,曲線是拋物線的一部分,,且恰好等于圓的半徑.
(1)若米,米,求與的值;
(2)若體育館側(cè)面的最大寬度不超過75米,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的右焦點為,且點在橢圓C上.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)過橢圓上異于其頂點的任意一點Q作圓的兩條切線,切點分別為不在坐標軸上),若直線在x軸,y軸上的截距分別為,證明:為定值;
(3)若是橢圓上不同兩點,軸,圓E過,且橢圓上任意一點都不在圓E內(nèi),則稱圓E為該橢圓的一個內(nèi)切圓,試問:橢圓是否存在過焦點F的內(nèi)切圓?若存在,求出圓心E的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知,為兩非零有理數(shù)列(即對任意的,,均為有理數(shù)),為一個無理數(shù)列(即對任意的,為無理數(shù)).
(1)已知,并且對任意的恒成立,試求的通項公式;
(2)若為有理數(shù)列,試證明:對任意的,恒成立的充要條件為;
(3)已知,,試計算.
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