Question

（2012•閘北區(qū)一模）已知△ABC的面積為1，且滿(mǎn)足

AB

•

AC

≥2，設(shè)

AB

和

AC

的夾角為θ．
（1）求θ的取值范圍；
（2）求函數(shù)f(θ)=

3

cos2θ-2cos2(θ+

π

4

)的最小值．

Answer 1

分析：（1）由三角形的面積公式可得，

1

2

bcsinθ=1，結(jié)合向量的數(shù)量積的定義可得bccosθ≥2，聯(lián)立可求θ的范圍
（2）由二倍角公式及輔助角公式可把已知函數(shù)化解為f（θ）=2sin(2θ+

π

3

)-1，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求最小值

解答：解：（1）設(shè)△ABC中角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，
則由

1

2

bcsinθ=1，bccosθ≥2，（4分）
可得0＜tanθ≤1，
∵θ∈[0，π]
∴θ∈(0，

π

4

]．（2分）
（2）f(θ)=

3

cos2θ+2cos2(θ+

π

4

)
=2sin(2θ+

π

3

)-1（5分）
∵θ∈(0，

π

4

]，∴2θ+

π

3

∈(

π

3

，

5π

6

 ]，
所以，當(dāng)2θ+

π

3

=

5π

6

，即θ=

π

4

時(shí)，f（θ）_min=0（3分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角形的面積公式及向量的數(shù)量積的應(yīng)用，二二倍角公式、輔助角公式的應(yīng)用是求解（2）的關(guān)鍵