若數(shù)列滿足，其中為常數(shù)，則稱數(shù)列為等方差數(shù)列，已知等方差數(shù)列滿足，.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（3）記，則當(dāng)實(shí)數(shù)大于4時(shí)，不等式能否對于一切的恒成立？請說明理由。

 

【答案】

（1）；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，不等式對于一切的恒成立  .

【解析】本試題主要考查了數(shù)列的概念和靈活運(yùn)用新的定義，解決數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和問題，以及不等式的恒成立問題的綜合運(yùn)用

（1）利用新定義可得由，得，，∴

（2）中結(jié)合上一問的結(jié)論得到，然后利用錯(cuò)位相減法得到求和

（3），不等式恒成立，

即對于一切的恒成立。

∴

分離參數(shù)的思想求解k的取值范圍。

解：（Ⅰ）由，得，，∴

，

∵，∴

數(shù)列的通項(xiàng)公式為； 

（Ⅱ）

設(shè)  ①

 ②

①－②，得

∴

∴

即數(shù)列的前項(xiàng)和為 

（Ⅲ）解法1：，不等式恒成立，

即對于一切的恒成立。

設(shè)，當(dāng)時(shí)，由于對稱軸，且

而函數(shù)在是增函數(shù)，∴不等式恒成立，

即當(dāng)時(shí)，不等式對于一切的恒成立  

解法2：，不等式恒成立，即對于一切的恒成立。

∴

∵，∴．而

∴恒成立．

故當(dāng)時(shí)，不等式對于一切的恒成立．

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，如果對任意的n∈N*，都有
an+2
an+1
-
an+1
an
=λ（λ為常數(shù)），則稱數(shù)列{an}為比等差數(shù)列，λ稱為比公差．現(xiàn)給出以下命題，其中所有真命題的序號(hào)是
①④
①④
．
①若數(shù)列{Fn}滿足F1=1，F(xiàn)2=1，F(xiàn)n=Fn-1+Fn-2（n≥3），則該數(shù)列不是比等差數(shù)列；
②若數(shù)列{an}滿足an=(n-1)•2n-1，則數(shù)列{an}是比等差數(shù)列，且比公差λ=2；
③等差數(shù)列是常數(shù)列是成為比等差數(shù)列的充分必要條件；
（文）④數(shù)列{an}滿足：an+1=an2+2an，a1=2，則此數(shù)列的通項(xiàng)為an=32n-1-1，且{an}不是比等差數(shù)列；
（理）④數(shù)列{an}滿足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
(n≥2，n∈N*)，則此數(shù)列的通項(xiàng)為an=
n•3n
3n-1
，且{an}不是比等差數(shù)列．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列命題中
（1）常數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列；
（2）a∈（0，
π
2
），則aina+
1
sina
有最小值2
（3）若數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn=Pn，則無論P(yáng)取何值時(shí){an}一定不是等比數(shù)列．
（4）在△ABC中，B=60°，b=6
3
，a=10，則滿足條件的三角形只有一個(gè)．
（5）函數(shù)f（x）=cos2x-sin2x的最小正周期為2π其中正確命題的序號(hào)是
（3），（4）
（3），（4）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

數(shù)列{an}滿足an+1=
4an-2
an+1
，其中n∈N，首項(xiàng)為a0．
（Ⅰ）若數(shù)列{an}是一個(gè)無窮的常數(shù)列，試求a0的值；
（Ⅱ）若a0=4，試求滿足不等式an≤
146
65
的自然數(shù)n的集合；
（Ⅲ）若存在a0，使數(shù)列{an}滿足：對任意正整數(shù)n，均有an＜an+1，試求a0的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年四川省成都外國語學(xué)校高三（上）11月月考數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：填空題

在數(shù)列{an}中，如果對任意的n∈N*，都有（λ為常數(shù)），則稱數(shù)列{an}為比等差數(shù)列，λ稱為比公差．現(xiàn)給出以下命題，其中所有真命題的序號(hào)是    ．
①若數(shù)列{Fn}滿足F1=1，F(xiàn)2=1，F(xiàn)n=Fn-1+Fn-2（n≥3），則該數(shù)列不是比等差數(shù)列；
②若數(shù)列{an}滿足，則數(shù)列{an}是比等差數(shù)列，且比公差λ=2；
③等差數(shù)列是常數(shù)列是成為比等差數(shù)列的充分必要條件；
（文）④數(shù)列{an}滿足：，a1=2，則此數(shù)列的通項(xiàng)為-1，且{an}不是比等差數(shù)列；
（理）④數(shù)列{an}滿足：a1=，且an=，則此數(shù)列的通項(xiàng)為an=，且{an}不是比等差數(shù)列．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年四川省成都外國語學(xué)校高三（上）11月月考數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：填空題

在數(shù)列{an}中，如果對任意的n∈N*，都有（λ為常數(shù)），則稱數(shù)列{an}為比等差數(shù)列，λ稱為比公差．現(xiàn)給出以下命題，其中所有真命題的序號(hào)是    ．
①若數(shù)列{Fn}滿足F1=1，F(xiàn)2=1，F(xiàn)n=Fn-1+Fn-2（n≥3），則該數(shù)列不是比等差數(shù)列；
②若數(shù)列{an}滿足，則數(shù)列{an}是比等差數(shù)列，且比公差λ=2；
③等差數(shù)列是常數(shù)列是成為比等差數(shù)列的充分必要條件；
（文）④數(shù)列{an}滿足：，a1=2，則此數(shù)列的通項(xiàng)為-1，且{an}不是比等差數(shù)列；
（理）④數(shù)列{an}滿足：a1=，且an=，則此數(shù)列的通項(xiàng)為an=，且{an}不是比等差數(shù)列．

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