在數(shù)列{an}中,如果對任意的n∈N*,都有
an+2
an+1
-
an+1
an
(λ為常數(shù)),則稱數(shù)列{an}為比等差數(shù)列,λ稱為比公差.現(xiàn)給出以下命題,其中所有真命題的序號是
①④
①④

①若數(shù)列{Fn}滿足F1=1,F(xiàn)2=1,F(xiàn)n=Fn-1+Fn-2(n≥3),則該數(shù)列不是比等差數(shù)列;
②若數(shù)列{an}滿足an=(n-1)•2n-1,則數(shù)列{an}是比等差數(shù)列,且比公差λ=2;
③等差數(shù)列是常數(shù)列是成為比等差數(shù)列的充分必要條件;
(文)④數(shù)列{an}滿足:an+1=an2+2an,a1=2,則此數(shù)列的通項為an=32n-1-1,且{an}不是比等差數(shù)列;
(理)④數(shù)列{an}滿足:a1=
3
2
,且an=
3nan-1
2an-1+n-1
(n≥2,n∈N*)
,則此數(shù)列的通項為an=
n•3n
3n-1
,且{an}不是比等差數(shù)列.
分析:根據(jù)比等差數(shù)列的定義
an+2
an+1
-
an+1
an
(λ為常數(shù)),逐一判斷①~④中的四個數(shù)列是否是比等差數(shù)列,即可得到答案.
解答:解:數(shù)列{Fn}滿足F1=1,F(xiàn)2=1,F(xiàn)3=2,F(xiàn)4=3,F(xiàn)5=5,
F3
F2
-
F2
F1
=1,
F4
F3
-
F3
F2
=-
1
2
≠1,
則該數(shù)列不是比等差數(shù)列,
故①正確;
若數(shù)列{an}滿足an=(n-1)•2n-1,
an+2
an+1
-
an+1
an
=
(n+1)•2n+1
n•2n
-
n•2n
(n-1)•2n-1
=
-2
(n-1)•n
不為定值,
即數(shù)列{an}不是比等差數(shù)列,
故②錯誤;
③當?shù)炔顢?shù)列為常數(shù)列0,0,0,0,…,0時,不能成為比等差數(shù)列,
故③錯誤;
(文)④∵數(shù)列{an}滿足:an+1=an2+2an,
a1=2=321-1-1,
∴a2=4+4=8=322-1-1
a3=64+16=80=3 23-1-1.
由此猜想an=32n-1-1
用數(shù)學歸納法證明:
①當n=1時,a1=2=321-1-1,成立.
②假設當n=k時成立,即ak=32k-1-1,
則ak+1=(32k-1-12+2(32k-1-1
=32k-2×3 2k-1+1-2×32k-1-2
=32k-1,也成立,
∴此數(shù)列的通項為an=32n-1-1.
an+2
an+1
-
an+1
an
=
32n+1-1
32n-1
-
32n-1
32n-1-1
不是常數(shù),
故{an}不是比等差數(shù)列,故④正確;
(理)④∵數(shù)列{an}滿足:a1=
3
2
,且an=
3nan-1
2an-1+n-1
(n≥2,n∈N*)
,
∴a1=
3
2
=
1•31
31-1
,
a2=
3×2×
3
2
3
2
+2-1
=
9
4
=
32
32-1
,
a3 =
3×3×
9
4
9
4
+3-1
=
81
26
=
33
33-1

由此猜想an=
n•3n
3n-1

用數(shù)學歸納法證明:
①當n=1時,a1=
3
2
=
1•31
31-1
,成立;
②假設n=k時,等式成立,即ak=
k•3k
3k-1
,
則ak+1=
3(k+1)•
k•3k
3k-1
2•
k•3k
3k-1
+k+1-1
=
(k+1)•3k+1
3k+1-1
,也成立.
故此數(shù)列的通項為an=
n•3n
3n-1
,
an+2
an+1
-
an+1
an
=
(n+2)•3n+2
3n+2-1
(n+1)•3n+1
3n+1-1
-
(n+1)•3n+1
3n+1-1
n•3n
3n-1
不是常數(shù),
故{an}不是比等差數(shù)列,故④正確;
故答案為:①④.
點評:本題考查新定義,解題時應正確理解新定義,同時注意利用列舉法判斷命題為假,屬于難題.
練習冊系列答案
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i≥5
i≥5

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A.i≥8
B.i≥9
C.i≥10
D.i≥11

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A.669
B.670
C.1339
D.1340

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