Question

設(shè)f（x）=cosx+

x2

2

-1．
（Ⅰ）求證：當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥0；
（Ⅱ）若不等式e^ax≥sinx-cosx+2對(duì)任意的x≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，證明f'（x）=x-sinx為增函數(shù)，從而可得f（x）在x≥0時(shí)為增函數(shù)，即可證明當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥0；
（Ⅱ）解法一：證明以

x2

2

+x+1≥sinx-cosx+2，設(shè)G(x)=ex-

x2

2

-x-1，證明G（x）為增函數(shù)，所以G（x）≥G（0）=0，所以e^x≥sinx-cosx+2對(duì)任意的x≥0恒成立，再分類討論，利用不等式e^ax≥sinx-cosx+2對(duì)任意的x≥0恒成立，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
解法二：因?yàn)閑^ax≥sinx-cosx+2等價(jià)于ax≥ln（sinx-cosx+2），設(shè)g（x）=ax-ln（sinx-cosx+2），分類討論，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： （Ⅰ）證明：f(x)=cosx+

x2

2

-1（x≥0），則f'（x）=x-sinx，
設(shè)φ（x）=x-sinx，則φ'（x）=1-cosx，…（2分）
當(dāng)x≥0時(shí)，φ'（x）=1-cosx≥0，即f'（x）=x-sinx為增函數(shù)，
所以f'（x）≥f'（0）=0，
即f（x）在x≥0時(shí)為增函數(shù)，所以f（x）≥f（0）=0．  …（4分）
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知x≥0時(shí)，sinx≤x，cosx≥-

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2

+1，
所以

x2

2

+x+1≥sinx-cosx+2，…（6分）
設(shè)G(x)=ex-

x2

2

-x-1，則G'（x）=e^x-x-1，
設(shè)g（x）=e^x-x-1，則g'（x）=e^x-1，
當(dāng)x≥0時(shí)g'（x）=e^x-1≥0，所以g（x）=e^x-x-1為增函數(shù)，
所以g（x）≥g（0）=0，所以G（x）為增函數(shù)，所以G（x）≥G（0）=0，
所以e^x≥sinx-cosx+2對(duì)任意的x≥0恒成立．…（8分）
又x≥0，a≥1時(shí)，e^ax≥e^x，
所以a≥1時(shí)e^ax≥sinx-cosx+2對(duì)任意的x≥0恒成立．…（9分）
當(dāng)a＜1時(shí)，設(shè)h（x）=e^ax-sinx+cosx-2，則h'（x）=ae^ax-cosx-sinx，h'（0）=a-1＜0，
所以存在實(shí)數(shù)x₀＞0，使得任意x∈（0，x₀），均有h'（x）＜0，所以h（x）在（0，x₀）為減函數(shù)，
所以在x∈（0，x₀）時(shí)h（x）＜h（0）=0，所以a＜1時(shí)不符合題意．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1，+∞）．…（12分）
（Ⅱ）解法二：因?yàn)閑^ax≥sinx-cosx+2等價(jià)于ax≥ln（sinx-cosx+2）…（6分）
設(shè)g（x）=ax-ln（sinx-cosx+2），則g′(x)=a-

sinx+cosx

sinx-cosx+2

可求

sinx+cosx

sinx-cosx+2

∈[-1，1]，…（8分）
所以當(dāng)a≥1時(shí)，g'（x）≥0恒成立，g（x）在[0，+∞）是增函數(shù)，
所以g（x）≥g（0）=0，即ax≥ln（sinx-cosx+2），即e^ax≥sinx-cosx+2
所以a≥1時(shí)，e^ax≥sinx-cosx+2對(duì)任意x≥0恒成立．…（9分）
當(dāng)a＜1時(shí)，一定存在x₀＞0，滿足在（0，x₀）時(shí)，g'（x）＜0，
所以g（x）在（0，x₀）是減函數(shù)，此時(shí)一定有g(shù)（x）＜g（0）=0，
即ax＜ln（sinx-cosx+2），即e^ax＜sinx-cosx+2，不符合題意，故a＜1不能滿足題意，
綜上所述，a≥1時(shí)，e^ax≥sinx-cosx+2對(duì)任意x≥0恒成立．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立問題，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度大．