Question

已知m＞0，函數(shù)f（x）=x³-mx在[2，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，則m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由m＞0，函數(shù)f（x）=x³-mx在[2，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，
得f′（x）≥0在[2，+∞）上恒成立，列出不等式得出不等式恒成立的條件求得結(jié)論．

解答： 解：由f（x）=x³-mx得，f′（x）=3x²-m
又m＞0，函數(shù)f（x）=x³-mx在[2，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，
∴f′（x）=3x²-m≥0在[2，+∞）上恒成立，即m≤3x²恒成立，
∴m≤（3x²）_min即可，
又y=3x²在[2，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，∴當(dāng)x2時，（3x²）_min=12，又m＞0，
∴0＜m≤12．即m的取值范圍是（0，12]．
故答案為（0，12]．

點評：考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的方法以及把不等式恒成立的條件轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題解決的能力，屬中檔題．