Question

試問(wèn)：a為何值時(shí)，函數(shù)f（x）=asinx+

1

3

sin3x在x=

π

3

處取得極值？它是極大值還是極小值？并求此極值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由題意，求導(dǎo)f′（x）=acosx+cos（3x），令f'（

π

3

）=

1

2

a-1=0，從而求出a，代入確定是極大值還是極小值，求極值即可．

解答： 解：∵f′（x）=acosx+cos（3x），
又∵函數(shù)f（x）=asinx+

1

3

sin3x在x=

π

3

處取得極值，
∴f'（

π

3

）=0，
即f'（

π

3

）=

1

2

a-1=0，
∴a=2，
∴f（x）=2sinx+

1

3

sin3x，
又∵f''（x）=-2sinx-3sin（3x），
∴f''（

π

3

）=-

3

＜0，
∴f（x）在x=

π

3

處取得極大值，極大值f（

π

3

）=

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．