Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；

（2）令，已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，若存在，使不等式對(duì)任意（取值范圍內(nèi)的值）恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）求出導(dǎo)數(shù)，計(jì)算，由點(diǎn)斜式寫出切線方程并整理成一般式；

（2）求出，由，可得有兩個(gè)滿足題意的不等實(shí)根，由二次方程根的分布可得的范圍；

（3）由（2）求出兩極值點(diǎn)，確定的單調(diào)性，得在單調(diào)遞增，因此題設(shè)中使不等式成立，取為最大值，使之成立即可。化簡(jiǎn)為不等式對(duì)任意的恒成立，引入函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)研究此函數(shù)的單調(diào)性得不等式成立的條件．

解：當(dāng)時(shí)，

時(shí)，

在處的切線方程為

化簡(jiǎn)得：

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得，

令，可得

，解得的取值范圍為

由，解得

而在上遞增，在上遞減，在上遞增

在單調(diào)遞增

在上，

，使不等式對(duì)恒成立

等價(jià)于不等式恒成立

即不等式對(duì)任意的恒成立

令，則

①當(dāng)時(shí)，在上遞減

不合題意

②當(dāng)時(shí)，

若，即時(shí)，則在上先遞減

時(shí)，不能恒成立

若即，則在上單調(diào)遞增

恒成立

的取值范圍為