Question

已知函數(shù)f（x）=2cos²x+sin2x+a-1（a∈R），
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的周期和值域；
（2）當(dāng)f（x）=0在[0，

π

2

]上有且僅有兩個(gè)實(shí)數(shù)解時(shí)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：利用二倍角公式對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)可得，f（x）=2cos²x+sin2x+a-1=cos2x+sin2x+a=

2

sin(2x+

π

4

)+a
（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=

2

sin(2x+

π

4

)+1，利用周期T=

2π

ω

可求T，結(jié)合-1≤sin(2x+

π

4

)≤1可求函數(shù)的值域
（2）f（x）=

2

sin(2x+

π

4

)+a=0可得-a=

2

sin(2x+

π

4

)，由x∈[0，

π

2

] 可得2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可求a的范圍

解答：解：∵f（x）=2cos²x+sin2x+a-1=cos2x+sin2x+a=

2

sin(2x+

π

4

)+a
（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=

2

sin(2x+

π

4

)+1
周期T=

2π

2

=π
-1≤sin(2x+

π

4

)≤1
-

2

+1≤

2

sin(2x+

π

4

)+1≤1+

2

值域[1-

2

，1+

2

]；
（2）f（x）=

2

sin(2x+

π

4

)+a=0可得-a=

2

sin(2x+

π

4

)
∵x∈[0，

π

2

]∴2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]
結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可知，要使得方程-a=

2

sin(2x+

π

4

)在x∈[0，

π

2

]上有2個(gè)根
則1≤-a＜

2

∴-

2

＜a≤-1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)的二倍角公式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)中的應(yīng)用，還考查了三角函數(shù)的周期的求解，值域的求解，解答的關(guān)鍵是熟練利用正弦函數(shù)的圖象．