Question

設(shè)函數(shù)(其中).

(Ⅰ) 當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ) 當(dāng)時,求函數(shù)在上的最大值.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) 函數(shù)的遞減區(qū)間為,遞增區(qū)間為, (Ⅱ)

【解析】(Ⅰ) 當(dāng)時,

,

令,得,

當(dāng)變化時,的變化如下表:

		極大值		極小值

右表可知,函數(shù)的遞減區(qū)間為,遞增區(qū)間為,.

(Ⅱ),

令,得,,

令,則,所以在上遞增,

所以,從而,所以

所以當(dāng)時,；當(dāng)時,；

所以

令,則,

令,則

所以在上遞減,而

所以存在使得,且當(dāng)時,,

當(dāng)時,,

所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.

因為,,

所以在上恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)時取得“”.

綜上,函數(shù)在上的最大值.

(1)根據(jù)k的取值化簡函數(shù)的表達(dá)式，明確函數(shù)的定義域，然后利用求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，中規(guī)中矩；（2）借助構(gòu)造函數(shù)的技巧進(jìn)行求解，如構(gòu)造達(dá)到證明的目的，構(gòu)造達(dá)到證明的目的.

【考點定位】本題考查函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最值問題，考查學(xué)生的分類討論思想和構(gòu)造函數(shù)的解題能力.