Question

（2012•許昌縣一模）已知函數(shù)f（x）=e^x+（a-2）x在定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值
（Ⅱ）對(duì)于任意的a∈（2-e，2）及x≥0，求證e^x≥1+（1-

a

2

）x²．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)函數(shù)f（x）=e^x+（a-2）x的解析式，求出其導(dǎo)函數(shù)的解析式，根據(jù)原函數(shù)在定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，可得導(dǎo)函數(shù)在定義域內(nèi)符號(hào)有正有負(fù)，進(jìn)而求出a-2＜0
，分析函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷出函數(shù)f（x）的極值
（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)h（x）=e^x-1+（

a

2

-1）x，則h′（x）=f（x）=e^x+（a-2）x，根據(jù)（I）中結(jié)論，可判斷出a∈（2-e，2）時(shí)，h′（x）=f（x）＞0恒成立，即
h（x）在R上單調(diào)遞增，故x≥0時(shí)，h（x）≥h（0）=0，進(jìn)而得到結(jié)論．

解答：解：（I）∵f′（x）=e^x+（a-2），且f（x）=e^x+（a-2）x在定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)
∴a-2＜0
令f′（x）=e^x+（a-2）=0，則x=ln（2-a）
∵當(dāng)x∈（-∞，ln（2-a））時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（ln（2-a），+∞）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
∴當(dāng)x=ln（2-a）時(shí)，函數(shù)f（x）取極小值f（ln（2-a））=（2-a）+（a-2）ln（2-a），函數(shù)沒(méi)有極大值；
證明：（II）設(shè)h（x）=e^x-1+（

a

2

-1）x，則h′（x）=f（x）=e^x+（a-2）x
由（I）知，f（x）_min=（2-a）+（a-2）ln（2-a），
當(dāng)a∈（2-e.2）．f（x）_min＞0
故h′（x）=f（x）=e^x+（a-2）x＞0恒成立
從而有h（x）=e^x-1+（

a

2

-1）x在R上單調(diào)遞增
當(dāng)x≥0時(shí)，h（x）=e^x-1+（

a

2

-1）x≥h（0）=0
故e^x≥1+（1-

a

2

）x²．

點(diǎn)評(píng)：本題是指數(shù)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了利用導(dǎo)數(shù)求極值，及確定函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟，熟練掌握導(dǎo)數(shù)法在求極值和單調(diào)性時(shí)的方法和步驟是解答的關(guān)鍵．