Question

如圖，已知DE⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB=2，且F是CD的中點．
（1）求證：AF∥平面 BCE；
（2）求證：平面 BCE⊥平面 CDE．
（3）求V_C-ABF：V_C-ABED的值．

Answer 1

分析：（1）取CE中點P，連結FP、BP證明AF∥BP，利用直線與平面平行的判定定理證明AF∥平面 BCE；
（2）通過證明BP⊥平面CDE，利用平面與平面垂直的判定定理證明平面 BCE⊥平面 CDE．
（3）利用轉化思想V_C-ABF=V_B-ACF求出幾何體的體積，然后求出V_C-ABED的值，即可得到比值．

解答：（本小題滿分14分）
解：（1）證明：取CE中點P，連結FP、BP，
∵F為CD的中點，∴FP∥DE，且FP=

1

2

DE．…（2分）
又AB∥DE，且AB=

1

2

DE．∴AB∥FP，且AB=FP，
∴ABPF為平行四邊形，∴AF∥BP．
又∵AF?平面BCE，BP?平面BCE，∴AF∥平面BCE．…（4分）
（2）證明：∵△ACD為正三角形，∴AF⊥CD．
∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，
∴DE⊥AF
又AF⊥CD，CD∩DE=D，
∴AF⊥平面CDE．…（7分）
又BP∥AF，∴BP⊥平面CDE．                                   …（8分）
又∵BP?平面BCE，
∴平面BCE⊥平面CDE．…（9分）
（3）∵DE∥ABDE⊥平面ACD∴AB⊥平面 ACD∴AB是三棱錐B-ACF的高，
V_C-ABF=V_B-ACF=

1

3

S△ACF•AB=

1

3

•

1

2

•

1

2

•2•2•sin

π

3

•1=

3

6

…（11分）
取AD中點Q，連結CQ
∵DE⊥平面 ACD，DE?平面ABED，∴平面ACD⊥平面ABED，
∵△ACD為正三角形，∴CQ⊥AD，
平面ACD∩平面ABED=AD            CQ?平面 ACD，
∴CQ⊥平面ABED，∴CQ是四棱錐C-ABED的高      …（12分）
V_C-ABED=

1

3

S梯形ABED•CQ=

1

3

•

(1+2)

2

•2•

3

=

3

…（13分）
故V_C-ABF：V_C-ABED=

1

6

…（14分）

點評：本題主要考查了線面平行的判定，以及面面垂直的判定，同時考查了空間想象能力和推理論證的能力，屬于中檔題．