Question

如圖，已知DE⊥平面ACD，DE//AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中點(diǎn)。

（I）求證：AF//平面BCE；

（II）求證：平面BCE⊥平面CDE；

（III）求平面BCE與平面ACD所成銳二面角的大小。

 

Answer 1

【答案】

（I）（II）見(jiàn)試題解析；（III）．

【解析】

試題分析：（I）要證明線面垂直，就是要在平面BCE中找一條與AF垂直的直線，這條直線容易看出是平面BAF與平面BCE的交線，當(dāng)然根據(jù)已知條件，輔助線可直接取CE中點(diǎn)P，直線BP就是我們要找的平等線；（II）本證面面垂直，先要證線面垂直，先看題中有沒(méi)有已知的垂直關(guān)系，發(fā)現(xiàn)有直線AF與平面CDE垂直，而在（I）的證明中有BP//AF，BP就是我們要找的線面垂直中的線；（III）平面BCE與平面ACD有一個(gè)公共點(diǎn)C，依據(jù)二面角的定義，要選作出二面角的棱，然后作出平面角，才能求出二面角的大小，但由（I）題中有兩兩垂直的三條直線FA，F(xiàn)P，AD，故我們可建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)空間向量來(lái)求二面角大�。�

試題解析：（I）解：取CE中點(diǎn)P，連結(jié)FP、BP，∵F為CD的中點(diǎn)，

∴FP//DE，且FP=  又AB//DE，且AB=

∴AB//FP，且AB=FP，  ∴ABPF為平行四邊形，∴AF//BP。

又∵AF平面BCE，BP平面BCE， ∴AF//平面BCE。             3分

（II）∵△ACD為正三角形，∴AF⊥CD。∵AB⊥平面ACD，DE//AB，

∴DE⊥平面ACD，又AF平面ACD，∴DE⊥AF。又AF⊥CD，CD∩DE=D，

∴AF⊥平面CDE。又BP//AF，∴BP⊥平面CDE。

又∵BP平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE。                7分

（III）由（II），以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)A，F(xiàn)D，F(xiàn)P所在的直線分別為x，y，z軸（如圖），建立空間直角坐標(biāo)系F—xyz.設(shè)AC=2，則C（0，—1，0），

顯然，為平面ACD的法向量。

設(shè)平面BCE與平面ACD所成銳二面角為

，

即平面BCE與平面ACD所成銳二面角為45°。                13分

考點(diǎn)：（I）線面平行；（II）面面垂直；（III）二面角．