Question

（本小題滿分14分）已知圓，直線，直線與圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，且滿足．

（1）當(dāng)時(shí)，求的值；

（2）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）1；（Ⅱ）．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）當(dāng)b=1時(shí)，點(diǎn)M（0，b）在圓C上，當(dāng)且僅當(dāng)直線l經(jīng)過圓心C時(shí)，滿足MP⊥MQ．把圓心坐標(biāo)（1，1）代入直線，可得k的值．

（Ⅱ）把直線的方程代入圓的方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系以及，求得．令，則

在區(qū)間上單調(diào)遞增，求得，可得 ，解此不等式求得k的取值范圍（注意檢驗(yàn)△＞0）．

試題解析：（Ⅰ）圓，當(dāng)b=1時(shí)，點(diǎn)M（0，b）在圓C上，

當(dāng)且僅當(dāng)直線l經(jīng)過圓心C時(shí)，滿足MP⊥MQ．

∵圓心C的坐標(biāo)為（1，1），∴k=1．

（Ⅱ）由 ，消去y得： ①

設(shè)，

∴，．

∵M(jìn)P⊥MQ，∴．

∴，即．

∵，

∴，即．

∴，即．

令，則在區(qū)間上單調(diào)遞增．

∴當(dāng)時(shí)，．

∴．

即，解得，

∴或．

由①式得，解得k＞0．

∴或．

∴k的取值范圍是．

考點(diǎn)：直線和圓相交的性質(zhì)；一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系；函數(shù)的單調(diào)性．